Ache os intervalos de crescimento e ou decrescimento; os intervalos nos quais é côncava pra cima, é côncava pra baixo; as coordenadas de todos os possíveis pontos de inflexão:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar:
  1. Intervalos de crescimento e decrescimento da função .
  2. Intervalos de concavidade para cima e para baixo dessa função.
  3. Coordenadas de todos os possíveis pontos de inflexão.
Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a derivada primeira de .
A derivada primeira, , nos indica a taxa de variação da função. Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.
Vamos calcular :
A derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Sabemos que é sempre positivo, porque a exponencial de qualquer número real é positivo. Portanto, o sinal de depende apenas de :
  • Se , então → A função está decrescendo.
  • Se , então → A função está crescendo.
  • Se , → Ponto crítico (possível máximo ou mínimo).
Então:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:

Passo 4

Agora, vamos descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a derivada segunda, .
A derivada segunda nos diz sobre a concavidade da função:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos calcular :
Já temos:
Vamos derivar novamente:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de para determinar a concavidade:
Como para todo , o sinal de depende de :
  • Se → Côncava para cima.
  • Se → Côncava para baixo.
  • Se → Possível ponto de inflexão.
Então:
  • Côncava para cima: e
  • Côncava para baixo:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar as coordenadas dos possíveis pontos de inflexão, que ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde .
Resolvendo :
Sabemos que nunca é zero, então:
Portanto, os pontos de inflexão estão em e .

Resposta

  • Intervalos de crescimento:
  • Intervalos de decrescimento:
  • Intervalos de concavidade para cima: e
  • Intervalos de concavidade para baixo:
  • Pontos de inflexão: e

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(a)