Ache os intervalos de crescimento e ou decrescimento; os intervalos nos quais
é côncava pra cima,
é côncava pra baixo; as coordenadas
de todos os possíveis pontos de inflexão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar:
- Intervalos de crescimento e decrescimento da função
. - Intervalos de concavidade para cima e para baixo dessa função.
- Coordenadas
de todos os possíveis pontos de inflexão.
Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a derivada primeira de
.
A derivada primeira,
, nos indica a taxa de variação da função. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Vamos calcular
:
A derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Sabemos que
é sempre positivo, porque a exponencial de qualquer número real é positivo. Portanto, o sinal de
depende apenas de
:
- Se
, então → → A função está decrescendo. - Se
, então → → A função está crescendo. - Se
, → Ponto crítico (possível máximo ou mínimo).
Então:
- Crescimento:
- Decrescimento:
Passo 4
Agora, vamos descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a derivada segunda,
.
A derivada segunda nos diz sobre a concavidade da função:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos calcular
:
Já temos:
Vamos derivar novamente:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade:
Como
para todo
, o sinal de
depende de
:
- Se
→ → → Côncava para cima. - Se
→ → → Côncava para baixo. - Se
→ → Possível ponto de inflexão.
Então:
- Côncava para cima:
e - Côncava para baixo:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar as coordenadas
dos possíveis pontos de inflexão, que ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde
.
Resolvendo
:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Portanto, os pontos de inflexão estão em
e
.
Resposta
- Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
- Intervalos de concavidade para cima:
e - Intervalos de concavidade para baixo:
- Pontos de inflexão:
e
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções,
e
, e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum
). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)
c)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)
b)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
(a)
(a)