Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo da curva parametrizada por no intervalo .
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha, que envolvem calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, calcular o vetor derivada da parametrização, substituir na integral e então resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parametrização da curva :
Aqui, varia de a .

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a , que é o vetor velocidade :

Passo 4

Substituímos a parametrização no campo vetorial :

Passo 5

Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, configuramos a integral de linha substituindo tudo na fórmula:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)
Ache os intervalos de crescimento e ou decrescimento; os intervalos nos quais é côncava pra cima, é côncava pra baixo; as coordenadas de todos os possíveis pontos de inflexão:
Considere uma parte da hélice em representada por , . Calcule:
a)
Seja o retângulo, em , com vértices e , com orientação anti-horária. Calcule:
a)