Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) :
(a) F(x, y) = (3x - 2y, 4x^2y), r(t) = (t^3, t^2), -2 <= t <= 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha para o campo vetorial ao longo da curva parametrizada por no intervalo .
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha, que envolvem calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, calcular o vetor derivada da parametrização, substituir na integral e então resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parametrização da curva :
Aqui, varia de a .

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a , que é o vetor velocidade :

Passo 4

Substituímos a parametrização no campo vetorial :

Passo 5

Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, configuramos a integral de linha substituindo tudo na fórmula:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A integral de linha vale .

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