Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha para o campo vetorial
ao longo da curva
parametrizada por
no intervalo
.
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha, que envolvem calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva específica. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, calcular o vetor derivada da parametrização, substituir na integral e então resolver a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parametrização da curva
:
Aqui,
varia de
a
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
, que é o vetor velocidade
:
Passo 4
Substituímos a parametrização
no campo vetorial
:
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, configuramos a integral de linha substituindo tudo na fórmula:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)
b)
Ache os intervalos de crescimento e ou decrescimento; os intervalos nos quais
é côncava pra cima,
é côncava pra baixo; as coordenadas
de todos os possíveis pontos de inflexão:
Considere
uma parte da hélice em
representada por
,
. Calcule:
a)
a)
Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
a)
a)