Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é com as condições iniciais e . Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrar as soluções gerais e verificar se elas formam um conjunto fundamental usando o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , as soluções gerais da equação diferencial são:
Essas são as duas soluções que vamos usar.

Passo 5

Para verificar se e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos calcular o Wronskiano das duas funções e mostrar que ele não é zero para algum valor de .
O Wronskiano de e é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Como nunca é zero, nunca é zero para nenhum . Portanto, e formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 6

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial usando as condições e .
A solução geral da equação diferencial é:
Derivando:
Aplicando as condições iniciais:
Para :

Passo 7

Agora temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar . Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Use a substituição para resolver a seguinte equação diferencial ordinária homogênea
Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)
Calcule as seguintes integrais:
Ache os intervalos de crescimento e ou decrescimento; os intervalos nos quais é côncava pra cima, é côncava pra baixo; as coordenadas de todos os possíveis pontos de inflexão: