Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é com as condições iniciais e . Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrar as soluções gerais e verificar se elas formam um conjunto fundamental usando o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes e , as soluções gerais da equação diferencial são:
Essas são as duas soluções que vamos usar.
Passo 5
Para verificar se e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos calcular o Wronskiano das duas funções e mostrar que ele não é zero para algum valor de .
O Wronskiano de e é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Como nunca é zero, nunca é zero para nenhum . Portanto, e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 6
Agora, vamos resolver o problema de valor inicial usando as condições e .
A solução geral da equação diferencial é:
Derivando:
Aplicando as condições iniciais:
Para :
Passo 7
Agora temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar . Substituindo na segunda equação: