Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial . Isso faz parte da matéria de campos vetoriais, onde a gente representa visualmente como os vetores se comportam em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns pontos no plano para calcular os vetores correspondentes do campo . Vamos usar pontos fáceis para facilitar a visualização, como:
  1. Ponto (1, 0):
    Aqui, o vetor aponta 1 unidade para a esquerda no eixo .
  2. Ponto (0, 1):
    Esse vetor aponta 1 unidade para cima no eixo .
  3. Ponto (1, 1):
    Aqui, o vetor aponta 1 unidade para a esquerda e 1 unidade para cima.
  4. Ponto (-1, -1):
    Esse vetor aponta 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo.

Passo 3

Agora, vamos plotar esses vetores no plano:
  • No ponto (1, 0), desenhe um vetor que vai 1 unidade para a esquerda.
  • No ponto (0, 1), desenhe um vetor que vai 1 unidade para cima.
  • No ponto (1, 1), desenhe um vetor que vai 1 unidade para a esquerda e 1 para cima.
  • No ponto (-1, -1), desenhe um vetor que vai 1 unidade para a direita e 1 para baixo.

Passo 4

Observando esses vetores, dá para notar que:
  • Para qualquer valor de , a componente do vetor é sempre oposta ao valor de do ponto. Ou seja, se é positivo, a seta aponta para a esquerda, e se é negativo, aponta para a direita.
  • A componente do vetor segue a mesma direção de do ponto. Se é positivo, a seta aponta para cima, e se é negativo, aponta para baixo.
Isso cria um padrão onde os vetores parecem “respirar” em direção aos eixos, formando um tipo de campo rotacional.

Resposta

O gráfico do campo vetorial consiste em vetores que, para cada ponto , apontam na direção . Isso resulta em vetores que apontam para a esquerda quando é positivo, para a direita quando é negativo, para cima quando é positivo e para baixo quando é negativo, formando um padrão característico no plano.

Exercícios relacionados

Ache os intervalos de crescimento e ou decrescimento; os intervalos nos quais é côncava pra cima, é côncava pra baixo; as coordenadas de todos os possíveis pontos de inflexão:
Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(a)
Considere uma parte da hélice em representada por , . Calcule:
a)