Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
(f) (lll2 & 0 & 5 0 & 3 & 0 1 & 0 & 3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a inversa da seguinte matriz:
2 & 0 & 5 0 & 3 & 0 1 & 0 & 3
Esse problema está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao cálculo da matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Se conseguirmos, podemos usar a fórmula da inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é um número que nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:

[
a & b & c d & e & f g & h & i = 2 & 0 & 5 0 & 3 & 0 1 & 0 & 3

det(A) = 2(3 cdot 3 - 0 cdot 0) - 0(0 cdot 3 - 0 cdot 1) + 5(0 cdot 0 - 3 cdot 1) = 2(9) - 0 + 5(-3) = 18 - 0 - 15 = 3
]
Então,

Passo 3

Como o determinante é 3 (que não é zero), a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta. A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores.
Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento.

Passo 4

Calcular os cofatores envolve encontrar o menor determinante para cada elemento, alternando os sinais. Vamos calcular cada cofactor:
  1. Cofator de C11 = (+1) times det(3 & 0 0 & 3) = 1 times (3 times 3 - 0 times 0) = 9 :
C12 = (-1) times det(0 & 0 1 & 3) = -1 times (0 times 3 - 0 times 1) = 0
  1. Cofator de C13 = (+1) times det(0 & 3 1 & 0) = 1 times (0 times 0 - 3 times 1) = -3 :
C21 = (-1) times det(0 & 5 0 & 3) = -1 times (0 times 3 - 5 times 0) = 0
  1. Cofator de C22 = (+1) times det(2 & 5 1 & 3) = 1 times (2 times 3 - 5 times 1) = 1 :
C23 = (-1) times det(2 & 0 1 & 0) = -1 times (2 times 0 - 0 times 1) = 0
  1. Cofator de C31 = (+1) times det(0 & 5 3 & 0) = 1 times (0 times 0 - 5 times 3) = -15 :
C32 = (-1) times det(2 & 5 0 & 0) = -1 times (2 times 0 - 5 times 0) = 0
  1. Cofator de C33 = (+1) times det(2 & 0 0 & 3) = 1 times (2 times 3 - 0 times 0) = 6 :
  1. Cofator de :
  1. Cofator de :
  1. Cofator de :
  1. Cofator de :

Passo 5

Agora, montamos a matriz de cofatores:
9 & 0 & -3 0 & 1 & 0 -15 & 0 & 6
Em seguida, a matriz adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores:
adj(A) = 9 & 0 & -15 0 & 1 & 0 -3 & 0 & 6

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Sabendo que A^-1 = 13 times 9 & 0 & -15 0 & 1 & 0 -3 & 0 & 6 = 3 & 0 & -5 0 & 13 & 0 -1 & 0 & 2 e é a matriz que calculamos, temos:

Resposta

A inversa da matriz dada é:
3 & 0 & -5 0 & dfrac13 & 0 -1 & 0 & 2

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