Seja
Podemos definir diversas operações
e.
em
. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
c)
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e definimos duas operações nele: a adição de vetores e a multiplicação por escalar. O objetivo é verificar por que, com essas operações específicas,
não se comporta como um espaço vetorial. Para isso, vamos revisar o que é um espaço vetorial e quais propriedades as operações devem satisfazer.
Passo 2
Primeiro, lembraremos que um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde duas operações são definidas: a adição de vetores e a multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Essas operações precisam seguir certas regras chamadas de axiomas vetoriais para que o conjunto seja realmente um espaço vetorial.
Passo 3
As operações dadas são:
A adição de vetores está sendo feita da forma usual em
, então essa operação provavelmente satisfaz os axiomas de adição. Vamos focar na multiplicação por escalar.
Passo 4
Um dos axiomas da multiplicação por escalar requer que para quaisquer escalares
e
e para qualquer vetor
, a seguinte propriedade seja válida:
Vamos ver se isso se mantém com a definição de multiplicação por escalar que temos.
Passo 5
Usando a definição dada:
E
Passo 6
Comparando os dois resultados:
Vemos que eles só são iguais se
, o que só acontece quando
. Para qualquer outro valor de
, essa igualdade não é verdadeira.
Passo 7
Isso significa que a propriedade
não se satisfaz com as operações definidas. Como esse é um dos axiomas fundamentais para um conjunto ser um espaço vetorial, concluímos que
com essas operações não é um espaço vetorial.
Resposta
As operações definidas não satisfazem o axioma
, portanto,
com essas operações não é um espaço vetorial.