Seja V=R^2=(x, y) mid x, y in R Podemos definir diversas operações +: R^2 times R^2 R^2 e. : R times R^2 R^2 em V. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de R^2 um espaço vetorial.
c) (x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2, y1+y2) lambda(x, y) & =(x, lambda y)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e definimos duas operações nele: a adição de vetores e a multiplicação por escalar. O objetivo é verificar por que, com essas operações específicas, não se comporta como um espaço vetorial. Para isso, vamos revisar o que é um espaço vetorial e quais propriedades as operações devem satisfazer.

Passo 2

Primeiro, lembraremos que um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde duas operações são definidas: a adição de vetores e a multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Essas operações precisam seguir certas regras chamadas de axiomas vetoriais para que o conjunto seja realmente um espaço vetorial.

Passo 3

As operações dadas são:
(x1, y1) + (x2, y2) & = (x1 + x2, y1 + y2) lambda(x, y) & = (x, lambda y)
A adição de vetores está sendo feita da forma usual em , então essa operação provavelmente satisfaz os axiomas de adição. Vamos focar na multiplicação por escalar.

Passo 4

Um dos axiomas da multiplicação por escalar requer que para quaisquer escalares (lambda + mu)v = lambdav + muv e e para qualquer vetor , a seguinte propriedade seja válida:
Vamos ver se isso se mantém com a definição de multiplicação por escalar que temos.

Passo 5

Usando a definição dada:
(lambda + mu)(x, y) = (x, (lambda + mu)y)
E
lambda(x, y) + mu(x, y) = (x, lambda y) + (x, mu y) = (x + x, lambda y + mu y) = (2x, (lambda + mu)y)

Passo 6

Comparando os dois resultados:
(lambda + mu)(x, y) = (x, (lambda + mu)y) e lambda(x, y) + mu(x, y) = (2x, (lambda + mu)y)
Vemos que eles só são iguais se , o que só acontece quando . Para qualquer outro valor de , essa igualdade não é verdadeira.

Passo 7

Isso significa que a propriedade não se satisfaz com as operações definidas. Como esse é um dos axiomas fundamentais para um conjunto ser um espaço vetorial, concluímos que com essas operações não é um espaço vetorial.

Resposta

As operações definidas não satisfazem o axioma , portanto, com essas operações não é um espaço vetorial.

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