Seja
Podemos definir diversas operações
e.
em
. Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
d)
d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
e
são números reais. A questão propõe uma maneira diferente de somar vetores e de escalar vetores, e nos pede para explicar por que, com essas operações,
não forma um espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar quais delas não são satisfeitas pelas operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a operação de adição que foi definida:
Perceba que, independentemente dos vetores que estamos somando, o resultado sempre é o primeiro vetor. Isso já é estranho, porque em um espaço vetorial padrão, a adição deve ser comutativa e associativa, além de ter outros requisitos.
Passo 3
Agora, vamos verificar algumas das propriedades básicas de um espaço vetorial para ver onde essa definição falha.
Associatividade da adição:
Em um espaço vetorial, a soma de vetores deve ser associativa, ou seja:
Em um espaço vetorial, a soma de vetores deve ser associativa, ou seja:
Vamos testar com vetores específicos:
Seja ,
, e
.
Seja
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Parece que associatividade está sendo satisfeita nesse exemplo, mas vamos olhar para outra propriedade.
Elemento neutro da adição:
Um espaço vetorial deve ter um vetor zero que, quando adicionado a qualquer vetor, retorna o mesmo vetor.
Um espaço vetorial deve ter um vetor zero que, quando adicionado a qualquer vetor, retorna o mesmo vetor.
Vamos tentar encontrar tal vetor com a operação dada:
Pelo definido:
Para isso ser igual a
,
pode ser qualquer coisa, mas não está claro qual seria o vetor zero especificamente. Essa indefinição já causa problema.
Inverso aditivo:
Cada vetor deve ter um vetor inverso tal que:
Cada vetor deve ter um vetor inverso tal que:
No nosso caso:
Isso nunca resulta em um vetor zero específico, a menos que
e
. Portanto, essa condição não é satisfeita para todos os vetores.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a operação de multiplicação por escalar:
Essa operação, na verdade, está correta e segue a definição padrão de multiplicação por escalar em
. Porém, como a adição não satisfaz todas as propriedades necessárias, mesmo que a multiplicação por escalar esteja correta,
com essas operações não pode ser um espaço vetorial.
Resposta
As operações definidas não satisfazem todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial, especificamente não existe um elemento neutro bem definido para a adição e não há inversos aditivos para todos os vetores. Portanto,
com essas operações não forma um espaço vetorial.