Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
(h) (rrr1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 -1 & -2 & -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa de uma matriz específica. Esse problema faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa, como calcular o determinante e aplicar métodos para encontrar a inversa de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversa. A inversa de uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é outra matriz, chamada , tal que quando multiplicamos pela , o resultado é a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Ou seja:
Mas nem toda matriz tem inversa. Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz dada para verificar se ela possui inversa. A matriz é:
A = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 -1 & -2 & -3
O determinante de uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot (-2)) - 0 cdot ((-1) cdot (-3) - 1 cdot (-1)) + 1 cdot ((-1) cdot (-2) - 1 cdot (-1))
det(A) = 1 cdot (-3 + 2) - 0 cdot (3 + 1) + 1 cdot (2 + 1)
det(A) = 1 cdot (-1) - 0 + 1 cdot 3 = -1 + 0 + 3 = 2
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz possui inversa.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível, vamos encontrar C11 = 1 & 1 -2 & -3 = (1)(-3) - (1)(-2) = -3 + 2 = -1 . Uma maneira de fazer isso é usando a matriz adjunta e dividindo pelo determinante.
A fórmula para a inversa é:
C12 = - -1 & 1 -1 & -3 = -[(-1)(-3) - (1)(-1)] = -[3 + 1] = -4
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta ( C13 = -1 & 1 -1 & -2 = (-1)(-2) - (1)(-1) = 2 + 1 = 3 ), que é a transposta da matriz dos cofatores de C21 = - 0 & 1 -2 & -3 = -[(0)(-3) - (1)(-2)] = -[0 + 2] = -2 .
Calculando os cofatores:
Cofator C22 = 1 & 1 -1 & -3 = (1)(-3) - (1)(-1) = -3 + 1 = -2 :
C23 = - 1 & 0 -1 & -2 = -[(1)(-2) - (0)(-1)] = -[-2 - 0] = 2
Cofator C31 = 0 & 1 1 & 1 = (0)(1) - (1)(1) = 0 - 1 = -1 :
C32 = - 1 & 1 -1 & 1 = -[(1)(1) - (1)(-1)] = -[1 + 1] = -2
Cofator C33 = 1 & 0 -1 & 1 = (1)(1) - (0)(-1) = 1 - 0 = 1 :
Cof(A) = -1 & -4 & 3 -2 & -2 & 2 -1 & -2 & 1
Cofator adj(A) = -1 & -2 & -1 -4 & -2 & -2 3 & 2 & 1 :
A^-1 = 12 cdot -1 & -2 & -1 -4 & -2 & -2 3 & 2 & 1 = -12 & -1 & -12 -2 & -1 & -1 32 & 1 & 12
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Agora, a matriz dos cofatores é:
A matriz adjunta ( ) é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

A inversa da matriz é
A^-1 = -12 & -1 & -12 -2 & -1 & -1 32 & 1 & 12

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