Verifique que lambda é autovalor e v=e^lambda t seu autovetor associado do operador T: C(R) C(R) se T(f(x))=f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se um número lambda é um autovalor e se a função v = e^lambda t é o autovetor correspondente do operador T, que é a derivada de uma função. Ou seja, T(f(x)) = f'(x). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores no contexto de operadores lineares, e como a derivada atua em funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que lambda é um autovalor e v é o autovetor associado. Para um operador linear T, dizer que v é um autovetor de T com autovalor lambda significa que:
T(v) = lambda v
No nosso caso, T é a derivada, então queremos mostrar que:
T(v) = v' = lambda v

Passo 3

Vamos agora substituir v por e^lambda t na equação acima:
v = e^lambda t
Calculando a derivada de v em relação a t:
v' = ddt e^lambda t = lambda e^lambda t

Passo 4

Agora, vamos comparar v' com lambda v:
v' = lambda e^lambda t
lambda v = lambda e^lambda t
Vemos que:
v' = lambda v
Isso mostra que, ao aplicar o operador T (derivada) em v, obtemos lambda v.

Passo 5

Como a igualdade T(v) = lambda v foi satisfeita, concluímos que lambda é de fato um autovalor do operador T, e que v = e^lambda t é o autovetor correspondente.

Resposta

Sim, lambda é um autovalor do operador T e a função v = e^lambda t é o autovetor associado a esse autovalor.

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