Verifique que
é autovalor e
seu autovetor associado do operador
se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se um número
é um autovalor e se a função
é o autovetor correspondente do operador
, que é a derivada de uma função. Ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores no contexto de operadores lineares, e como a derivada atua em funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é um autovalor e
é o autovetor associado. Para um operador linear
, dizer que
é um autovetor de
com autovalor
significa que:
No nosso caso,
é a derivada, então queremos mostrar que:
Passo 3
Vamos agora substituir
por
na equação acima:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
:
Vemos que:
Isso mostra que, ao aplicar o operador
(derivada) em
, obtemos
.
Passo 5
Como a igualdade
foi satisfeita, concluímos que
é de fato um autovalor do operador
, e que
é o autovetor correspondente.
Resposta
Sim,
é um autovalor do operador
e a função
é o autovetor associado a esse autovalor.