a) Ache a lei da transformação linear T: R^3 R^2 tal que T(v)=(1,0), T(u)= (1,0) e T(w)=(0,1)
b) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial N(T);
c) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial Im(T);
d) T é invertível? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares juntos! O que a gente tem aqui são várias partes que envolvem encontrar a lei de uma transformação linear , além de determinar algumas propriedades como a base e dimensão de certos subespaços e verificar se é invertível. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, núcleos, imagens, bases e invertibilidade.

Passo 2

a) Encontrar a lei da transformação linear T(v) = (1, 0) tal que T(u) = (1, 0) , T(w) = (0, 1) e A = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Primeiro, vamos entender que uma transformação linear T(x, y, z) = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 x y z = x + y z pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz associada terá dimensões .
Vamos chamar os vetores de uma base para . Supondo que sejam linearmente independentes, podemos encontrar a matriz que representa sabendo como atua nesses vetores.
Sabemos que:
Então, a matriz será formada colocando os vetores como colunas:
Portanto, a lei da transformação linear é dada por:

Passo 3

b) Encontrar uma base e a dimensão para o subespaço vetorial x + y = 0 z = 0 (Núcleo de y cdot (-1, 1, 0) )

O núcleo de uma transformação linear (-1, 1, 0) , denotado por dim(N(T)) = 1 , é o conjunto de todos os vetores em tais que .
Vamos resolver :
Da segunda equação, . Da primeira, .
Então, todo vetor no núcleo tem a forma , onde é real. Podemos escrever isso como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .
Base para :
Dimensão de :
A dimensão é o número de vetores na base, então:

Passo 4

c) Encontrar uma base e a dimensão para o subespaço vetorial T(x, y, z) = (x + y, z) (Imagem de (1, 0), (0, 1) )

A imagem de dim(Im(T)) = 2 , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos como para algum em .
Da transformação que encontramos:
Podemos ver que:
  • O componente pode ser qualquer número real, já que e são livres.
  • O componente também pode ser qualquer número real.
Portanto, qualquer vetor em pode ser alcançado por . Isso significa que a imagem de é todo o .
Base para :
Como é gerado pelos vetores e , podemos usar esses vetores como base.
Dimensão de :
A dimensão é:

Passo 5

d) é invertível? Justifique a sua resposta.

Para uma transformação linear ser invertível, ela precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora.
No entanto, observamos que:
  • A dimensão do domínio é 3.
  • A dimensão do contradomínio é 2.
Segundo o Teorema do Núcleo e da Imagem, se e , então .
Como não contém apenas o vetor zero (ou seja, não é trivial), não é injetora. Além disso, embora seja sobrejetora (já que ), a falta de injetividade impede que seja invertível.
Resposta:
Não, não é invertível porque o núcleo de contém vetores além do vetor zero, ou seja, não é injetora.

Resposta

Conforme detalhado nos passos acima, as respostas são:
a) A lei de é .
b) Uma base para é e sua dimensão é 1.
c) Uma base para é e sua dimensão é 2.
d) não é invertível porque o núcleo de não é trivial.

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