a) Ache a lei da transformação linear tal que e
b) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
c) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
d) é invertível? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares juntos! O que a gente tem aqui são várias partes que envolvem encontrar a lei de uma transformação linear , além de determinar algumas propriedades como a base e dimensão de certos subespaços e verificar se é invertível. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, núcleos, imagens, bases e invertibilidade.
Passo 2
a) Encontrar a lei da transformação linear tal que , e
Primeiro, vamos entender que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , a matriz associada terá dimensões .
Vamos chamar os vetores de uma base para . Supondo que sejam linearmente independentes, podemos encontrar a matriz que representa sabendo como atua nesses vetores.
Sabemos que:
Então, a matriz será formada colocando os vetores como colunas:
Portanto, a lei da transformação linear é dada por:
Passo 3
b) Encontrar uma base e a dimensão para o subespaço vetorial (Núcleo de )
O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tais que .
Vamos resolver :
Da segunda equação, . Da primeira, .
Então, todo vetor no núcleo tem a forma , onde é real. Podemos escrever isso como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .
Base para :
Dimensão de :
A dimensão é o número de vetores na base, então:
Passo 4
c) Encontrar uma base e a dimensão para o subespaço vetorial (Imagem de )
A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos como para algum em .
Da transformação que encontramos:
Podemos ver que:
O componente pode ser qualquer número real, já que e são livres.
O componente também pode ser qualquer número real.
Portanto, qualquer vetor em pode ser alcançado por . Isso significa que a imagem de é todo o .
Base para :
Como é gerado pelos vetores e , podemos usar esses vetores como base.
Dimensão de :
A dimensão é:
Passo 5
d) é invertível? Justifique a sua resposta.
Para uma transformação linear ser invertível, ela precisa ser tanto injetora quanto sobrejetora.
No entanto, observamos que:
A dimensão do domínio é 3.
A dimensão do contradomínio é 2.
Segundo o Teorema do Núcleo e da Imagem, se e , então .
Como não contém apenas o vetor zero (ou seja, não é trivial), não é injetora. Além disso, embora seja sobrejetora (já que ), a falta de injetividade impede que seja invertível.
Resposta:
Não, não é invertível porque o núcleo de contém vetores além do vetor zero, ou seja, não é injetora.
Resposta
Conforme detalhado nos passos acima, as respostas são:
a) A lei de é .
b) Uma base para é e sua dimensão é 1.
c) Uma base para é e sua dimensão é 2.
d) não é invertível porque o núcleo de não é trivial.