Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
©
, onde
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que verificar se um certo conjunto de vetores em
é um subespaço vetorial. Especificamente, o conjunto é formado por todos os vetores da forma
, onde
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um subconjunto de
é um subespaço se ele satisfaz três condições importantes: contém o vetor zero, é fechado quanto à adição de vetores e é fechado quanto à multiplicação por escalares. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições dadas:
-
(sim, está ok) -
, ou seja, (também está ok)
Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto.
Passo 3
Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
Agora, somamos esses vetores:
Precisamos verificar se
:
Como
e
,
Então,
Portanto, a soma
também satisfaz
, ficando no conjunto.
Passo 4
Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto:
E multiplicá-lo por um escalar
:
Precisamos verificar se
:
Como
, então
Isso mostra que
, então o vetor
também satisfaz
, permanecendo no conjunto.
Resposta
O conjunto de todos os vetores
em
onde
e
é um subespaço de
.