Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
© , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que verificar se um certo conjunto de vetores em é um subespaço vetorial. Especificamente, o conjunto é formado por todos os vetores da forma , onde e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um subconjunto de é um subespaço se ele satisfaz três condições importantes: contém o vetor zero, é fechado quanto à adição de vetores e é fechado quanto à multiplicação por escalares. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições dadas:
  • (sim, está ok)
  • , ou seja, (também está ok)
Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto.

Passo 3

Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
onde
onde
Agora, somamos esses vetores:
Precisamos verificar se :
Como e ,
Então,
Portanto, a soma também satisfaz , ficando no conjunto.

Passo 4

Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto:
onde
E multiplicá-lo por um escalar :
Precisamos verificar se :
Como , então
Isso mostra que , então o vetor também satisfaz , permanecendo no conjunto.

Resposta

O conjunto de todos os vetores em onde e é um subespaço de .

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Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(b) , onde e .
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
© , onde .
a) Ache a lei da transformação linear tal que e
b) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
c) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
d) é invertível? Justifique a sua resposta.
Seja e . Calcule: