Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, que é uma matriz e que é uma matriz , além da matriz identidade . A matéria aqui é sobre multiplicação de matrizes e matriz identidade. A gente vai precisar saber como multiplicar matrizes e entender o que é a matriz identidade para ver se, de alguma forma, a multiplicação delas dá essa matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a multiplicação é possível. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz tem colunas e tem linhas, então dá para multiplicar! O resultado será uma matriz .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Vamos multiplicar linha por coluna:
Para o elemento da primeira linha e primeira coluna:
Para a primeira linha e segunda coluna:
Para a segunda linha e primeira coluna:
Para a segunda linha e segunda coluna:
Então, fica:

Passo 4

Agora, vamos comparar com a matriz identidade de ordem , que é:
Claramente, não é igual a , então e não são inversas entre si nesse sentido.

Passo 5

Vamos também calcular só para ver como fica. A matriz é e é , então será uma matriz .
Fazendo as contas:
Primeira linha de BA:
Então:
Segunda linha de BA:
Então:
Terceira linha de BA:
Então:
Quarta linha de BA:
Então:
Portanto,
Comparando com :
Vemos que também não é igual a .

Resposta

Após calcular, verificamos que nem nem resultam na matriz identidade. Portanto, as matrizes e não são inversas entre si.

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Seja e . Calcule:
a) Ache a lei da transformação linear tal que e
b) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
c) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
d) é invertível? Justifique a sua resposta.
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(g)
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: