Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(b) , onde e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quais subconjuntos de são subespaços. No caso, estamos analisando o conjunto de todos os vetores da forma onde e . Para determinar se esse conjunto é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor está em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se o vetor zero satisfaz as equações e .
Substituindo:
  • (Válido)
  • (Válido)
Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto:
  • onde e .
  • onde e .
A soma será:
Vamos verificar as condições para :
Portanto, o vetor soma também satisfaz as equações e , o que significa que está no conjunto.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor no conjunto e um escalar . O vetor será:
Vamos verificar as condições para :
Portanto, o vetor multiplicado por escalar também satisfaz as equações e , o que significa que está no conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto de todos os vetores onde e é um subespaço de , pois satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

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c)
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
© , onde e .
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c) Encontre uma base e a dimensão para o subespaço vetorial ;
d) é invertível? Justifique a sua resposta.