Quais dos subconjuntos de R^4 a seguir são subespaços de R^4. O conjunto de todos os vetores da forma:
(b) (x, y, z, t), onde z=x+2 y e t=x-3 y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quais subconjuntos de R^4 são subespaços. No caso, estamos analisando o conjunto de todos os vetores da forma (x, y, z, t) onde z = x + 2y e t = x - 3y. Para determinar se esse conjunto é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto S de um espaço vetorial R^n é chamado de subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0, 0) está em S.
  2. É fechado sob adição: Se u e v estão em S, então u + v também está em S.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se u está em S e c é um escalar, então c cdot u está em S.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se o vetor zero (0, 0, 0, 0) satisfaz as equações z = x + 2y e t = x - 3y.
Substituindo:
  • z = 0 = 0 + 2 cdot 0 Rightarrow 0 = 0 (Válido)
  • t = 0 = 0 - 3 cdot 0 Rightarrow 0 = 0 (Válido)
Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto:
  • u = (x1, y1, z1, t1) onde z1 = x1 + 2y1 e t1 = x1 - 3y1.
  • v = (x2, y2, z2, t2) onde z2 = x2 + 2y2 e t2 = x2 - 3y2.
A soma u + v será:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2)
Vamos verificar as condições para u + v:
  • z1 + z2 = (x1 + 2y1) + (x2 + 2y2) = (x1 + x2) + 2(y1 + y2)
  • t1 + t2 = (x1 - 3y1) + (x2 - 3y2) = (x1 + x2) - 3(y1 + y2)
Portanto, o vetor soma também satisfaz as equações z = x + 2y e t = x - 3y, o que significa que u + v está no conjunto.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor u = (x, y, z, t) no conjunto e um escalar c. O vetor c cdot u será:
c cdot u = (c x, c y, c z, c t)
Vamos verificar as condições para c cdot u:
  • c z = c (x + 2y) = c x + 2c y
  • c t = c (x - 3y) = c x - 3c y
Portanto, o vetor multiplicado por escalar também satisfaz as equações z = x + 2y e t = x - 3y, o que significa que c cdot u está no conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto de todos os vetores (x, y, z, t) onde z = x + 2y e t = x - 3y é um subespaço de R^4, pois satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

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