Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(b)
, onde
e
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta quais subconjuntos de
são subespaços. No caso, estamos analisando o conjunto de todos os vetores da forma
onde
e
. Para determinar se esse conjunto é um subespaço, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se o vetor zero
satisfaz as equações
e
.
Substituindo:
-
(Válido) -
(Válido)
Portanto, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto:
-
onde e . -
onde e .
A soma
será:
Vamos verificar as condições para
:
Portanto, o vetor soma também satisfaz as equações
e
, o que significa que
está no conjunto.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor
no conjunto e um escalar
. O vetor
será:
Vamos verificar as condições para
:
Portanto, o vetor multiplicado por escalar também satisfaz as equações
e
, o que significa que
está no conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os vetores
onde
e
é um subespaço de
, pois satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial.