Ache lim t 1 r(t) onde r(t)=(1t-1, t^4-1, sin (t)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o limite de uma função vetorial r(t) quando t se aproxima de 1. A função é dada por:
r(t) = (1t-1, t^4-1, sin(t))
Então, para resolver isso, vamos trabalhar com cada componente da função separadamente usando conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar o limite de uma função vetorial, a gente precisa encontrar o limite de cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja:
lim t 1 r(t) = (limt 1 1t-1, limt 1 (t^4-1), limt 1 sin(t))
Isso porque o limite de um vetor é o vetor dos limites das suas componentes, desde que todos esses limites existam.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: limt 1 1t-1. Aqui, a gente está lidando com uma função que tem uma divisão por zero quando t se aproxima de 1. Isso significa que o limite pode tender para mais infinito ou menos infinito, dependendo de como t se aproxima de 1.
  • Se t se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1), então t-1 é positivo e próximo de zero, então 1t-1 tende a +infty.
  • Se t se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1), então t-1 é negativo e próximo de zero, então 1t-1 tende a -infty.
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe e a função tende a infinito.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: limt 1 (t^4-1). Aqui, podemos simplesmente substituir t por 1 na expressão, já que não há nenhuma indeterminação:
1^4 - 1 = 1 - 1 = 0
Então, o limite dessa componente é 0.

Passo 5

Por último, temos a terceira componente: limt 1 sin(t). A função seno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos substituir diretamente:
sin(1)
Portanto, o limite dessa componente é sin(1).

Resposta

Unindo tudo, temos:
lim t 1 r(t) = (não existe (tende a infinito), 0, sin(1)) ã
Ou seja, o limite da função vetorial r(t) quando t se aproxima de 1 não existe devido à primeira componente que tende ao infinito.

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