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onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o limite de uma função vetorial
quando
se aproxima de 1. A função é dada por:
Então, para resolver isso, vamos trabalhar com cada componente da função separadamente usando conceitos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar o limite de uma função vetorial, a gente precisa encontrar o limite de cada uma das suas componentes individualmente. Ou seja:
Isso porque o limite de um vetor é o vetor dos limites das suas componentes, desde que todos esses limites existam.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Aqui, a gente está lidando com uma função que tem uma divisão por zero quando
se aproxima de 1. Isso significa que o limite pode tender para mais infinito ou menos infinito, dependendo de como
se aproxima de 1.
- Se
se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1), então é positivo e próximo de zero, então tende a . - Se
se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1), então é negativo e próximo de zero, então tende a .
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe e a função tende a infinito.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui, podemos simplesmente substituir
por 1 na expressão, já que não há nenhuma indeterminação:
Então, o limite dessa componente é 0.
Passo 5
Por último, temos a terceira componente:
. A função seno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos substituir diretamente:
Portanto, o limite dessa componente é
.
Resposta
Unindo tudo, temos:
Ou seja, o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 1 não existe devido à primeira componente que tende ao infinito.