Exercício 8 Calcule f'(x) :
(a) f(x) = x / (x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que formam o quociente. No nosso caso:
  • Numerador (u(x)):
  • Denominador (v(x)):
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de u(x):

  • Derivada de v(x):

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Podemos rearranjar os termos para ficar mais claro:

Resposta

A derivada de é:

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