Ache lim t 1 r(t) onde r(t)=(t^3-t^2, ln (t+1), e^2 t-2).

Passo 1

Vamos resolver o limite de r(t) quando t se aproxima de 1. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites de funções vetoriais. Para resolver, precisamos calcular o limite de cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: t^3 - t^2.
Sabemos que o limite de um polinômio em um ponto é obtido substituindo diretamente o valor de t. Então:
limt to 1 t^3 - t^2 = 1^3 - 1^2 = 1 - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da segunda componente: ln(t + 1).
A função logaritmo natural ( ln) é contínua em seu domínio, o que significa que podemos substituir diretamente o valor de t:
limt to 1 ln(t + 1) = ln(1 + 1) = ln(2)

Passo 4

Por fim, calculamos o limite da terceira componente: e^2t - 2.
A função exponencial ( e^x) também é contínua, então substituímos diretamente o valor de t:
limt to 1 e^2t - 2 = e^2 cdot 1 - 2 = e^0 = 1

Resposta

lim t 1 r(t) = (0, ln(2), 1)

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