Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto
dado.
n.
,
n.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas de segunda ordem e queremos descobrir uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de
. Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares e como eles influenciam a convergência das séries de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Esses são os pontos onde os coeficientes das derivadas se anulam ou se tornam indefinidos. Na nossa equação:
O coeficiente de
é
. Vamos ver onde ele se anula:
Então, os pontos singulares são
e
, onde
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, para determinar a cota inferior do raio de convergência, precisamos calcular a distância do ponto
aos pontos singulares mais próximos. No plano complexo, a distância até
ou
é:
Portanto, a distância mais próxima é 1.
Resposta
A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é 1.