Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno do ponto x_0 dado.
n. (x^2 + 1) y'' + x y' - y = 0, x0 = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas de segunda ordem e queremos descobrir uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de . Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares e como eles influenciam a convergência das séries de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Esses são os pontos onde os coeficientes das derivadas se anulam ou se tornam indefinidos. Na nossa equação:
O coeficiente de é . Vamos ver onde ele se anula:
Então, os pontos singulares são e , onde é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, para determinar a cota inferior do raio de convergência, precisamos calcular a distância do ponto aos pontos singulares mais próximos. No plano complexo, a distância até ou é:
Portanto, a distância mais próxima é 1.

Resposta

A cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências é 1.

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