Ache lim t 1 r(t) onde r(t)=(raizt-1, e^t-1, sin (t^3)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 1. O conteúdo aqui é sobre cálculo de limites para funções vetoriais. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira componente da função: limt to 1 raizt - 1 .
Teoria: O limite de uma função na qual a variável se aproxima de um valor é encontrado substituindo esse valor na função, desde que a função esteja definida nesse ponto.
Então, calculando:
raiz0 = 0
Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Então:
Portanto, o limite da primeira componente é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to 1 e^t - 1 = e^1 - 1 = e^0 = 1 .
Teoria: A função exponencial é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir o valor para encontrar o limite.
Calculando:
Então, o limite da segunda componente é 1.

Passo 4

Por último, vamos analisar a terceira componente: limt to 1 sin(t^3) = sin(1^3) = sin(1) .
Teoria: A função seno também é contínua, então novamente podemos substituir diretamente o valor.
Calculando:
Portanto, o limite da terceira componente é .

Resposta

Juntando todas as componentes, o limite da função vetorial limt to 1 r(t) = (0,, 1,, sin(1)) quando se aproxima de 1 é:

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