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onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o limite de uma função vetorial
quando
se aproxima de 1. O conteúdo aqui é sobre cálculo de limites para funções vetoriais. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira componente da função:
.
Teoria: O limite de uma função na qual a variável se aproxima de um valor é encontrado substituindo esse valor na função, desde que a função esteja definida nesse ponto.
Então, calculando:
Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Então:
Portanto, o limite da primeira componente é 0.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Teoria: A função exponencial é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir o valor para encontrar o limite.
Calculando:
Então, o limite da segunda componente é 1.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira componente:
.
Teoria: A função seno também é contínua, então novamente podemos substituir diretamente o valor.
Calculando:
Portanto, o limite da terceira componente é
.
Resposta
Juntando todas as componentes, o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 1 é: