Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
f.
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Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial dada por
. A questão é saber se a gente consegue encontrar uma solução usando uma série de potências em torno de
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e métodos para resolver equações diferenciais. Precisamos analisar a equação e ver como aplicar a série de potências para encontrar a solução e determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho com séries de potências. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes que serão usados na série de potências.
Passo 3
Agora, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Onde
são os coeficientes que a gente precisa encontrar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos essas expressões na equação diferencial reescrita.
Passo 5
Substituindo na equação:
A gente precisa simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre os coeficientes
.
Passo 6
Observamos que
pode ser expandido em uma série de potências:
Isso nos permite multiplicar pelas séries de
e reorganizar os termos.
Passo 7
Multiplicando as séries e igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
. Resolvendo essa relação, podemos encontrar todos os
em termos de
e
.
Passo 8
Quanto ao raio de convergência, ele está determinado pela distância até o ponto mais próximo onde a série deixa de ser analítica. Observando a função
e os termos da equação, percebemos que não há singularidades próximas de
, então esperamos que o raio de convergência seja infinito.
Resposta
Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
para a equação
. O raio de convergência dessa solução é infinito.