Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de x0 = 0 ? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
f. e^x y'' + x y = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial dada por . A questão é saber se a gente consegue encontrar uma solução usando uma série de potências em torno de . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e métodos para resolver equações diferenciais. Precisamos analisar a equação e ver como aplicar a série de potências para encontrar a solução e determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho com séries de potências. Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes que serão usados na série de potências.

Passo 3

Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Substituímos essas expressões na equação diferencial reescrita.

Passo 5

Substituindo na equação:
A gente precisa simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre os coeficientes .

Passo 6

Observamos que pode ser expandido em uma série de potências:
Isso nos permite multiplicar pelas séries de e reorganizar os termos.

Passo 7

Multiplicando as séries e igualando os coeficientes de cada potência de a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes . Resolvendo essa relação, podemos encontrar todos os em termos de e .

Passo 8

Quanto ao raio de convergência, ele está determinado pela distância até o ponto mais próximo onde a série deixa de ser analítica. Observando a função e os termos da equação, percebemos que não há singularidades próximas de , então esperamos que o raio de convergência seja infinito.

Resposta

Sim, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de para a equação . O raio de convergência dessa solução é infinito.

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