Para cada uma das seguintes equações diferenciais, podemos determinar uma solução em série de potências em torno de
? Além disso, se for o caso, qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
d.
,
d.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Queremos saber se conseguimos encontrar uma solução para essa equação usando uma série de potências em torno de
. Além disso, se for possível, precisamos determinar qual é o raio de convergência dessa solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre soluções em série de potências para equações diferenciais e raio de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma solução em série de potências assume que a função
pode ser escrita como:
Essa forma é útil quando queremos encontrar soluções perto de um ponto específico, aqui
.
Passo 3
Agora, para que essa abordagem funcione, a equação diferencial precisa ter coeficientes que sejam analíticos no ponto
. Isso significa que os coeficientes da equação podem ser expressos como séries de potências que convergem em torno desse ponto.
Na nossa equação:
Os coeficientes são
e
. Vamos analisar cada um:
-
é uma função polinomial, que é analítica em todo lugar. -
também é uma função analítica, pois pode ser expandida em uma série de potências que converge para todos os números reais.
Passo 4
Como ambos os coeficientes são analíticos em
, podemos aplicar o método de séries de potências para encontrar a solução da equação diferencial nessa região.
Passo 5
Sobre o raio de convergência, ele nos diz até onde a série de potências encontrada será válida. Para determinar isso, geralmente buscamos os pontos singulares da equação, que são os valores de
onde os coeficientes deixam de ser analíticos.
No nosso caso:
-
não tem problemas, já que é analítico em todo lugar. -
também é analítico em todo lugar.
Isso significa que não há pontos singulares próximos a
, ou seja, a série de potências terá convergência válida em todo o domínio dos números reais.
Resposta
Sim, é possível determinar uma solução em série de potências para a equação diferencial
em torno de
. Além disso, o raio de convergência dessa solução é infinito, ou seja, a série converge para todos os valores de
.