Verifique a continuidade da função f(t) = (t^2 / (1 + t), t - raiz(t), cos(t^2)) em t = infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função é contínua quando se aproxima do infinito. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites no Infinito e Continuidade de Funções Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função se comporta conforme cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada uma das três partes da função separadamente para ver como elas se comportam quando tende ao infinito.

Passo 3

Primeira Componente:
Aqui, temos um quociente de polinômios. Quando fica muito grande, cresce muito mais rápido que . Então, de forma simplificada:
Ou seja, a primeira componente tende ao infinito.

Passo 4

Segunda Componente:
Nesta parte, temos uma diferença entre e . Como cresce muito mais rápido que , podemos ver que:
Mas, na verdade, domina , então:
Assim, a segunda componente também tende ao infinito.

Passo 5

Terceira Componente:
A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de . Mesmo quando cresce sem limite, nunca deixa de oscilar. Portanto:
Esse limite não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico à medida que aumenta.

Resposta

Como duas das componentes da função tendem ao infinito e a terceira não tem limite definido, concluímos que a função não é contínua em .

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