Verifique a continuidade da função
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função
é contínua quando
se aproxima do infinito. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites no Infinito e Continuidade de Funções Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função se comporta conforme
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada uma das três partes da função separadamente para ver como elas se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 3
Primeira Componente:
Aqui, temos um quociente de polinômios. Quando
fica muito grande,
cresce muito mais rápido que
. Então, de forma simplificada:
Ou seja, a primeira componente tende ao infinito.
Passo 4
Segunda Componente:
Nesta parte, temos uma diferença entre
e
. Como
cresce muito mais rápido que
, podemos ver que:
Mas, na verdade,
domina
, então:
Assim, a segunda componente também tende ao infinito.
Passo 5
Terceira Componente:
A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
. Mesmo quando
cresce sem limite,
nunca deixa de oscilar. Portanto:
Esse limite não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico à medida que
aumenta.
Resposta
Como duas das componentes da função
tendem ao infinito e a terceira não tem limite definido, concluímos que a função não é contínua em
.