Ache o limite das sequências abaixo e justifique. a_n = 1 / (0.9)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da sequência . Isso envolve o conceito de limites de sequências, mais especificamente de sequências exponenciais. Pra resolver, vamos analisar como se comporta quando cresce e, com isso, entender como se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a base da potência, que é . Sabemos que é um número entre 0 e 1. Quando você eleva um número menor que 1 a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a zero. Ou seja:

Passo 3

Agora, queremos o limite de . Se está indo para zero, o que acontece com o inverso disso? Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero, a fração inteira tende ao infinito. Então:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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