O conjunto de pares
está contido no gráfico de uma função contínua e inversível
. Qual(is) afirmação(ções) é(são) verdadeira(s)?
-
é um ponto no gráfico da inversa de
.
- Existe pelo menos um ponto em comum nos gráficos de
e
.
-
está na imagem de
.
-
é um ponto no domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um conjunto de pares
que pertence ao gráfico de uma função contínua e inversível
. Isso significa que para cada
no domínio de
, existe um único
tal que
, e vice-versa para
. Vamos analisar cada afirmação para ver quais são verdadeiras.
Passo 2
Afirmação 1:
é um ponto no gráfico da inversa de
.
Para a função inversa
, os pares são invertidos. Ou seja, se
está em
, então
está em
. Temos que
, então
está em
. Mas a afirmação diz que
está em
. Olhando os pares de
, nenhum deles tem
e
. Portanto,
não está no gráfico de
.
Passo 3
Afirmação 2: Existe pelo menos um ponto em comum nos gráficos de
e
.
Um ponto em comum ocorre quando
, ou seja, a função intersecta sua inversa na linha
. Vamos verificar os pares de
:
-
→ -
→ ✅ -
→ -
→
Aparece que
, então
está tanto em
quanto em
. Portanto, há pelo menos um ponto em comum.
Passo 4
Afirmação 3:
está na imagem de
.
A imagem de
é o conjunto dos primeiros elementos dos pares de
. Como
, então em
,
está presente. Ou seja,
é o segundo elemento do par
, o que significa que
está no domínio de
, mas não necessariamente na imagem. A imagem de
inclui todos os primeiros elementos dos pares de
, que são
. Portanto,
está na imagem de
.
Passo 5
Afirmação 4:
é um ponto no domínio de
.
O domínio de
é a imagem de
, que inclui
. O número
não está nessa lista. Logo,
não está no domínio de
.
Resposta
As afirmações 2 e 3 são verdadeiras.
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