O conjunto de pares {(2, -1), (3, 3), (4, 5), (pi, 4)} está contido no gráfico de uma função contínua e inversível f. Qual(is) afirmação(ções) é(são) verdadeira(s)?
  1. (5,4) é um ponto no gráfico da inversa de f.
  2. Existe pelo menos um ponto em comum nos gráficos de f e f^-1.
  3. pi está na imagem de f^-1.
  4. 5 / 2 é um ponto no domínio de f^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um conjunto de pares que pertence ao gráfico de uma função contínua e inversível . Isso significa que para cada no domínio de , existe um único tal que , e vice-versa para . Vamos analisar cada afirmação para ver quais são verdadeiras.

Passo 2

Afirmação 1: é um ponto no gráfico da inversa de .
Para a função inversa , os pares são invertidos. Ou seja, se está em , então está em . Temos que , então está em . Mas a afirmação diz que está em . Olhando os pares de , nenhum deles tem e . Portanto, não está no gráfico de .

Passo 3

Afirmação 2: Existe pelo menos um ponto em comum nos gráficos de e .
Um ponto em comum ocorre quando , ou seja, a função intersecta sua inversa na linha . Vamos verificar os pares de :
Aparece que , então está tanto em quanto em . Portanto, há pelo menos um ponto em comum.

Passo 4

Afirmação 3: está na imagem de .
A imagem de é o conjunto dos primeiros elementos dos pares de . Como , então em , está presente. Ou seja, é o segundo elemento do par , o que significa que está no domínio de , mas não necessariamente na imagem. A imagem de inclui todos os primeiros elementos dos pares de , que são . Portanto, está na imagem de .

Passo 5

Afirmação 4: é um ponto no domínio de .
O domínio de é a imagem de , que inclui . O número não está nessa lista. Logo, não está no domínio de .

Resposta

As afirmações 2 e 3 são verdadeiras.

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