(Peso: 1,0) Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares: integralR integral(x^2+y^2) d x d y, onde R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de na região , que é definida por . Isso significa que estamos trabalhando com uma área entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para facilitar nossos cálculos, vamos usar coordenadas polares, que são perfeitas para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E a área diferencial se transforma em . Além disso, se torna em coordenadas polares.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral dupla usando coordenadas polares. A integral original:
integral integralR (x^2 + y^2) , dx , dy
Se transforma em:
integraltheta=0^2pi integralr=1^2 r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por . Os limites de integração para vão de 1 a 2 porque implica . Para , como a região é completa em torno do círculo, vamos de 0 a .

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 154 , dtheta = 154 cdot [ theta ]0^2pi = 154 cdot 2pi = 30pi4 = 15pi2

Resposta

O valor da integral dupla é .

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