(Peso: 1,0) Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
na região
, que é definida por
. Isso significa que estamos trabalhando com uma área entre dois círculos: um de raio 1 e outro de raio 2. Para facilitar nossos cálculos, vamos usar coordenadas polares, que são perfeitas para regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
E a área diferencial
se transforma em
. Além disso,
se torna
em coordenadas polares.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral dupla usando coordenadas polares. A integral original:
Se transforma em:
Aqui, substituímos
por
e
por
. Os limites de integração para
vão de 1 a 2 porque
implica
. Para
, como a região é completa em torno do círculo, vamos de 0 a
.
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é
.