(Peso: 1,5) Determine o volume do sólido limitado por z = 4 - x^2 ; x = 0 ; y = 6 ; z = 0 ; y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido limitado pelas superfícies , , , e . Para resolver isso, vamos precisar usar integrais múltiplas, que nos permitem calcular volumes em espaços tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável.
  • é um dos limites para a coordenada . A outra fronteira em vem da equação . Quando , temos , então . Mas como estamos considerando como um limite, vamos usar de 0 a 2.
  • Para , os limites são bem diretos: de a .
  • Já para , ele varia de 0 até a superfície .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla que representa o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a :
Agora, a integral simplifica para:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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