Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a linearização da função
no ponto
. A linearização é basicamente uma aproximação linear (reta) da função perto desse ponto. Depois disso, vamos usar essa reta para estimar os valores de
e
.
Para fazer isso, vamos precisar entender o que é derivada, já que a linearização envolve a derivada da função no ponto escolhido. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, onde
.
Então, o ponto de contato é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à função naquele ponto.
A função é
.
Aplicando a regra do poder para derivar:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Com o ponto de contato
e a inclinação
, podemos montar a equação da reta tangente, que é a linearização
.
A fórmula da reta tangente é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora que temos a linearização, vamos usá-la para aproximar
e
.
Primeiro, vamos entender que:
Usaremos
para calcular essas aproximações.
Passo 7
Calculando
:
Então,
.
Passo 8
Calculando
:
Então,
.
Resposta
A linearização de
em
é:
Usando essa linearização, temos as aproximações: