Ache a linearização de f(x) = raiz(x + 3) em a = 1 e use essa expressão para aproximar raiz(3.9) e raiz(4.1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a linearização da função no ponto . A linearização é basicamente uma aproximação linear (reta) da função perto desse ponto. Depois disso, vamos usar essa reta para estimar os valores de e .
Para fazer isso, vamos precisar entender o que é derivada, já que a linearização envolve a derivada da função no ponto escolhido. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , onde .
Então, o ponto de contato é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à função naquele ponto.
A função é .
Aplicando a regra do poder para derivar:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com o ponto de contato e a inclinação , podemos montar a equação da reta tangente, que é a linearização .
A fórmula da reta tangente é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora que temos a linearização, vamos usá-la para aproximar e .
Primeiro, vamos entender que:
Usaremos para calcular essas aproximações.

Passo 7

Calculando :
Então, .

Passo 8

Calculando :
Então, .

Resposta

A linearização de em é:
Usando essa linearização, temos as aproximações:

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