A mola de um sistema massa-mola tem constante de 3 N/m. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea ( em m/s ). O sistema sofre a ação de uma força externa de 3 cos(3 t) 2 sen(3 t) N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
c) repita os itens a) e b) se ao invés de 3 cos(3 t) 2 sen(3 t) N, a força externa fosse dada por e^(-t) N ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola que está num fluido viscoso e recebe uma força externa diferente agora: e^(-t) N. A gente precisa repetir os itens a) e b), que provavelmente envolvem encontrar a equação de movimento e resolver para a posição ou velocidade da massa ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física como segunda lei de Newton, equações diferenciais e força de amortecimento. Precisaremos montar a equação diferencial que descreve o sistema e resolver para a posição da massa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no sistema:
  1. Força da mola: Ela é dada por , onde k é a constante da mola e x é o deslocamento da posição de equilíbrio. Aqui, .
  2. Força de amortecimento (viscosa): Como o fluido oferece resistência proporcional à velocidade, essa força é , onde b é o coeficiente de amortecimento e é a velocidade. Aqui, .
  3. Força externa: Agora é N.
Aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração ( ), temos:

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • Massa
  • Constante da mola
  • Coeficiente de amortecimento
  • Força externa
Então:
Para simplificar, dividimos toda a equação por 2:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é não homogênea devido ao termo .
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para lambda:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o termo forçado é , tentamos uma solução particular da forma , onde A é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Portanto, , então .
Logo, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . As condições são:
  1. Quando , a posição .
  2. Quando , a velocidade .
Primeiro, aplicamos :
Simplificando:
Então, .
Agora, derivamos x(t) para encontrar :
Aplicando :
Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então,

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:

Resposta

A posição da massa em função do tempo é dada por:

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