A mola de um sistema massa-mola tem constante de
. É presa uma massa de 2 kg na mola e o movimento se dá em um fluido viscoso que oferece resistência (em Newtons) numericamente igual ao módulo da velocidade instantânea (
). O sistema sofre a ação de uma força externa de
N. Se a massa parte da posição de equilíbrio e em repouso, determine:
c) repita os itens a) e b) se ao invés de
, a força externa fosse dada por
N ;
c) repita os itens a) e b) se ao invés de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola que está num fluido viscoso e recebe uma força externa diferente agora:
N. A gente precisa repetir os itens a) e b), que provavelmente envolvem encontrar a equação de movimento e resolver para a posição ou velocidade da massa ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física como segunda lei de Newton, equações diferenciais e força de amortecimento. Precisaremos montar a equação diferencial que descreve o sistema e resolver para a posição da massa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no sistema:
-
Força da mola: Ela é dada por
, onde é a constante da mola e é o deslocamento da posição de equilíbrio. Aqui, . -
Força de amortecimento (viscosa): Como o fluido oferece resistência proporcional à velocidade, essa força é
, onde é o coeficiente de amortecimento e é a velocidade. Aqui, . -
Força externa: Agora é
N.
Aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração (
), temos:
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- Massa
- Constante da mola
- Coeficiente de amortecimento
- Força externa
Então:
Para simplificar, dividimos toda a equação por 2:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. Ela é não homogênea devido ao termo
.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o termo forçado é
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Portanto,
, então
.
Logo, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Substituindo:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. As condições são:
- Quando
, a posição . - Quando
, a velocidade .
Primeiro, aplicamos
:
Simplificando:
Então,
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A posição da massa em função do tempo é dada por: