Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa ( ). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
b) a massa parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com velocidade para baixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma massa de 1 kg ligada a uma mola com constante elástica de 16 N/m. Esse sistema está submerso em um líquido que proporciona uma força de amortecimento igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa. Queremos encontrar a equação do movimento, ou seja, a posição da massa em qualquer instante de tempo, considerando que ela começa 1 metro abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de 12 m/s para baixo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido, que envolve equações diferenciais. Precisaremos aplicar conhecimentos de dinâmica das massas e molas, além de entender como o amortecimento afeta o movimento.
Passo 2
Vamos modelar o sistema usando a segunda lei de Newton para movimentos oscilatórios com amortecimento. A equação diferencial que descreve o movimento é:
Onde:
(massa),
(coeficiente de amortecimento),
(constante elástica da mola),
é a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Substituindo os valores na equação diferencial, temos:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 5
Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais distintas:
Passo 6
Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais:
Posição inicial: (1 metro abaixo do equilíbrio).
Velocidade inicial: (para baixo).
Primeiro, encontramos :
Passo 8
Agora, encontramos a derivada de para calcular a velocidade:
Aplicando a condição de velocidade inicial :
Passo 9
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
A equação do movimento da massa é:
Onde:
representa a posição da massa em qualquer instante ,
e são termos exponenciais que descrevem o comportamento amortecido do sistema.