Encontre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada de ordem
da função cosseno hiperbólico de
, que é
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e entender como funcionam as derivadas de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função cosseno hiperbólico. A função
é definida como:
Ela é parecida com a função cosseno, mas no contexto das funções hiperbólicas.
Passo 3
Agora, vamos ver como derivar
. A regra básica de derivação que vamos usar aqui é a regra da cadeia. Se temos
, onde
, a derivada será:
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
Então, a primeira derivada de
é
.
Passo 5
Vamos derivar de novo para ver o padrão:
A segunda derivada é
.
Passo 6
Derivando uma terceira vez:
A terceira derivada é
.
Passo 7
Perceba que as derivadas estão alternando entre
e
, e cada vez multiplicam por 2. Então, a
-ésima derivada vai depender se
é par ou ímpar.
Passo 8
Em geral, a
-ésima derivada de
é: