Encontre: d^n/dx^n cosh(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada de ordem da função cosseno hiperbólico de , que é . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e entender como funcionam as derivadas de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função cosseno hiperbólico. A função é definida como:
Ela é parecida com a função cosseno, mas no contexto das funções hiperbólicas.

Passo 3

Agora, vamos ver como derivar . A regra básica de derivação que vamos usar aqui é a regra da cadeia. Se temos , onde , a derivada será:

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
Então, a primeira derivada de é .

Passo 5

Vamos derivar de novo para ver o padrão:
A segunda derivada é .

Passo 6

Derivando uma terceira vez:
A terceira derivada é .

Passo 7

Perceba que as derivadas estão alternando entre e , e cada vez multiplicam por 2. Então, a -ésima derivada vai depender se é par ou ímpar.

Passo 8

Em geral, a -ésima derivada de é:
ééí

Resposta

ééí

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