Ache a linearização de em e use essa expressão para aproximar 0.95 e 1.05.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a linearização da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e aproximações lineares. Precisamos encontrar a expressão linear que melhor aproxima essa função perto de e depois usar essa expressão para aproximar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função em um ponto . A linearização é a aproximação linear (reta tangente) da função naquele ponto e é dada pela fórmula:
Isso nos ajuda a aproximar valores da função próximos de sem precisar calcular a função original.

Passo 3

Vamos encontrar . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de . A função é . Aplicando a regra da potência:

Passo 5

Vamos calcular substituindo na derivada:

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a linearização :

Passo 7

Com a linearização encontrada, vamos usar para aproximar e .

Passo 8

Para :

Passo 9

Para :

Resposta

A linearização de em é . Usando essa expressão, temos:

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