Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar 0.95 e 1.05.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a linearização da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e aproximações lineares. Precisamos encontrar a expressão linear que melhor aproxima essa função perto de
e depois usar essa expressão para aproximar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função em um ponto
. A linearização é a aproximação linear (reta tangente) da função naquele ponto e é dada pela fórmula:
Isso nos ajuda a aproximar valores da função próximos de
sem precisar calcular a função original.
Passo 3
Vamos encontrar
. Substituindo
na função:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
. A função é
. Aplicando a regra da potência:
Passo 5
Vamos calcular
substituindo
na derivada:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a linearização
:
Passo 7
Com a linearização encontrada, vamos usar
para aproximar
e
.
Passo 8
Para
:
Passo 9
Para
:
Resposta
A linearização de
em
é
. Usando essa expressão, temos:
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado:
(e) no intervalo
(e)
Suponha que
, seja solução do sistema
Calcule a derivada da função dada por
. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto
, à origem? Interprete.