Calcule os limites abaixo. Em nenhum deles é necessário usar a definição!!
a) lim (x, y) (0,0) cos (x y)+2(x+1)(y+2)x^2+y^2+1
b) lim (x, y, z) (1,2,3) ln (x-y+z)x-y+z
c) lim (x, y) (0,0) x-y-raiz2 x+raiz2 yraizx-raizy (Dica: Fatore ou multiplique o numerador e denominador por d) lim (x, y) (4,3) raizx-raizy+1x-y-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos avaliar o comportamento do numerador e do denominador à medida que se aproxima de . Precisaremos conhecer propriedades de funções contínuas e limites de funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador: . Quando se aproxima de , e tendem a 0, então o denominador se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: . Quando se aproxima de :
  • tende a , já que tende a 0.
  • se expande para . Substituindo e , temos .

Passo 4

Então, o numerador tende a .

Passo 5

Finalmente, o limite da função é o limite do numerador dividido pelo limite do denominador:
lim(x, y) (0,0) cos (x y)+2(x+1)(y+2)x^2+y^2+1 = 51 = 5

Resposta

O limite é .

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