lim x 0 tg^2 x1^2 cos x

Passo 1

Vamos entender a questão! Precisamos calcular o limite quando limx 0 tan^2 xcos x se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ( e ) e limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como a tangente e o cosseno se comportam perto de 0 e usar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan^2 x = ( sin xcos x )^2 = sin^2 xcos^2 x . Então, podemos reescrever tan^2 xcos x = sin^2 xcos^2 xcos x = sin^2 xcos^3 x da seguinte forma:
Agora, substituindo isso na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite:
limx 0 sin^2 xcos^3 x
Sabemos que:
limx 0 sin x = 0 e limx 0 cos x = 1
Portanto,
limx 0 sin^2 x = (limx 0 sin x)^2 = 0^2 = 0
e
limx 0 cos^3 x = (limx 0 cos x)^3 = 1^3 = 1

Passo 4

Agora, aplicamos a regra dos limites que diz que o limite do quociente é o quociente dos limites (desde que o denominador não seja zero):
limx 0 sin^2 xcos^3 x = limx 0 sin^2 xlimx 0 cos^3 x = 01 = 0

Resposta

Portanto, o limite é igual a 0.

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