Suponha que
, seja solução do sistema
Calcule a derivada da função dada por
. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto
, à origem? Interprete.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais onde
e
dependem de
. A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve um pouquinho de cálculo e álgebra linear. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar
e substituir as derivadas de
e
que o sistema nos dá.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
usando o sistema de equações fornecido:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, distribuímos as multiplicações:
Simplificando cada termo:
Agora, observamos que
e
se cancelam:
Passo 5
Observando a expressão final de
:
Como
e
são sempre positivos (ou zero), os coeficientes 6 e 10 são positivos. Isso significa que
é sempre positivo ou zero.
Resposta
A derivada da função
é
, que é sempre positiva ou zero. Portanto, a distância do ponto
à origem nunca diminui e está sempre aumentando ou permanecendo constante ao longo do tempo.
Exercícios relacionados
Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar 0.95 e 1.05.
Encontre os valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado:
(e) no intervalo
(e)
Resolva as equações diferenciais abaixo: