Suponha que x = x(t), y = y(t), t ≥ 0, seja solução do sistema
{ dot(x) = 3 x + y ; dot(y) = -x + 5 y }
Calcule a derivada da função dada por C(t) = (x(t))^2 + (y(t))^2, t ≥ 0. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto (x(t), y(t)), t ≥ 0, à origem? Interprete.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais onde e dependem de . A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve um pouquinho de cálculo e álgebra linear. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar e substituir as derivadas de e que o sistema nos dá.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar :
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Agora, vamos substituir e usando o sistema de equações fornecido:
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, distribuímos as multiplicações:
Simplificando cada termo:
Agora, observamos que e se cancelam:

Passo 5

Observando a expressão final de :
Como e são sempre positivos (ou zero), os coeficientes 6 e 10 são positivos. Isso significa que é sempre positivo ou zero.

Resposta

A derivada da função é , que é sempre positiva ou zero. Portanto, a distância do ponto à origem nunca diminui e está sempre aumentando ou permanecendo constante ao longo do tempo.

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