Ache matrizes A e B de tamanho 2 times 2 tais que A B=02 times 2 e B A neq 02 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas matrizes e de tamanho que, quando multiplicadas na ordem , dão a matriz zero , mas que ao multiplicarmos na ordem , não dão zero. Para isso, vamos mexer com a teoria de multiplicação de matrizes e ver como os elementos interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes A = a & b c & d , B = e & f g & h e A = 1 & 1 0 & 0 , B = 1 & -1 1 & -1 , o elemento na posição da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha de com os elementos da coluna de . Nossa meta é fazer com que todas essas somas dêem zero para , mas não para .
Vamos supor que as matrizes e tenham a seguinte forma:
Para simplificar, vamos escolher alguns valores para facilitar os cálculos. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar AB = 1 & 1 0 & 0 1 & -1 1 & -1 = (1 times 1 + 1 times 1) & (1 times -1 + 1 times -1) (0 times 1 + 0 times 1) & (0 times -1 + 0 times -1) = 2 & -2 0 & 0 por B = 1 & -1 -1 & 1 :
AB = 1 & 1 0 & 0 1 & -1 -1 & 1 = (1 times 1 + 1 times -1) & (1 times -1 + 1 times 1) 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Ops, ainda não deu zero! Vamos ajustar .
Vamos tentar:
Agora, multiplicando de novo:
Agora sim, .

Passo 4

Vamos verificar se BA = 1 & -1 -1 & 1 1 & 1 0 & 0 = (1 times 1 + -1 times 0) & (1 times 1 + -1 times 0) (-1 times 1 + 1 times 0) & (-1 times 1 + 1 times 0) = 1 & 1 -1 & -1 não é a matriz zero:
Como podemos ver, não é a matriz zero.

Resposta

As matrizes que satisfazem as condições são:
A = 1 & 1 0 & 0 , B = 1 & -1 -1 & 1

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