Para cada constante , resolva o sistema linear a seguir. Descreva todas as solução possíveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve uma constante . O sistema é:
Vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, como eliminação e substituição, para encontrar os valores de , e em função de . Dependendo do valor de , o sistema pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos ver passo a passo como resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
(Equação 1)
(Equação 2)
(Equação 3)
Nosso objetivo é isolar uma das variáveis e substituir nas outras equações para simplificar o sistema.
Passo 3
Vamos começar pela Equação 1. Vamos isolar :
(Equação 1a)
Agora, vamos substituir da Equação 1a nas Equações 2 e 3 para eliminar .
Passo 4
Substituindo na Equação 2:
Vamos expandir e simplificar:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, vamos isolar uma variável. Vamos escolher :
Dividindo todos os termos por -7 para simplificar:
(Equação 2a)
Passo 5
Agora, vamos substituir da Equação 1a na Equação 3:
Expandindo:
Juntando os termos semelhantes:
Simplificando:
Vamos isolar :
Dividindo todos os termos por -7:
(Equação 3a)
Passo 6
Agora temos duas equações com duas variáveis e :
(Equação 2a)
(Equação 3a)
Vamos subtrair a Equação 2a da Equação 3a para eliminar :
Simplificando:
Vamos colocar os termos com em evidência:
Para somar os coeficientes, colocamos 2 em fração com denominador 7:
Então:
Podemos multiplicar ambos os lados por 7 para eliminar os denominadores:
Passo 7
Vamos agora isolar :
Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então:
Para , o denominador se torna zero, o que precisamos tratar separadamente.
Passo 8
Agora que temos para , vamos encontrar usando a Equação 2a:
Substituindo :
Isolando :
Vamos deixar com um denominador comum:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos encontrar usando a Equação 1a:
Substituindo e :
Vamos simplificar cada termo:
Colocando tudo com denominador :
Simplificando:
Passo 10
Agora, resumindo as soluções para e (para evitar divisão por zero):
Passo 11
Precisamos analisar os casos especiais onde o denominador , ou seja, , e onde , que foi mencionado anteriormente.
Caso 1:
Substituindo no denominador da expressão para :
Agora, substituindo nas equações para e :
Portanto, para , temos uma solução única:
Caso 2:
Substituindo no denominador das expressões para e , vemos que ocorre divisão por zero, o que significa que precisamos verificar a consistência do sistema para .
Substituindo na Equação 3 original:
Comparando com as outras equações:
Vamos tentar resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Subtraindo a Equação 2:
Simplificando:
Agora, multiplcando a Equação 1 por 4:
Subtraindo a Equação 3:
Simplificando novamente:
Notamos que obtemos duas equações para :
Isso é impossível, pois . Portanto, para , o sistema não possui solução.
Resposta
Para todo , a solução do sistema é:
Quando :
Quando :
O sistema não possui solução.
Quando :
Portanto, todas as soluções possíveis dependem do valor de conforme descrito acima.