Para cada constante , resolva o sistema linear a seguir. Descreva todas as solução possíveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve uma constante . O sistema é:
Vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, como eliminação e substituição, para encontrar os valores de , e em função de . Dependendo do valor de , o sistema pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos ver passo a passo como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
  1.   (Equação 1)
  2.   (Equação 2)
  3.   (Equação 3)
Nosso objetivo é isolar uma das variáveis e substituir nas outras equações para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos começar pela Equação 1. Vamos isolar :
  (Equação 1a)
Agora, vamos substituir da Equação 1a nas Equações 2 e 3 para eliminar .

Passo 4

Substituindo na Equação 2:
Vamos expandir e simplificar:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, vamos isolar uma variável. Vamos escolher :
Dividindo todos os termos por -7 para simplificar:
  (Equação 2a)

Passo 5

Agora, vamos substituir da Equação 1a na Equação 3:
Expandindo:
Juntando os termos semelhantes:
Simplificando:
Vamos isolar :
Dividindo todos os termos por -7:
  (Equação 3a)

Passo 6

Agora temos duas equações com duas variáveis e :
  1.   (Equação 2a)
  2.   (Equação 3a)
Vamos subtrair a Equação 2a da Equação 3a para eliminar :
Simplificando:
Vamos colocar os termos com em evidência:
Para somar os coeficientes, colocamos 2 em fração com denominador 7:
Então:
Podemos multiplicar ambos os lados por 7 para eliminar os denominadores:

Passo 7

Vamos agora isolar :
Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então:
Para , o denominador se torna zero, o que precisamos tratar separadamente.

Passo 8

Agora que temos para , vamos encontrar usando a Equação 2a:
Substituindo :
Isolando :
Vamos deixar com um denominador comum:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos encontrar usando a Equação 1a:
Substituindo e :
Vamos simplificar cada termo:
Colocando tudo com denominador :
Simplificando:

Passo 10

Agora, resumindo as soluções para e (para evitar divisão por zero):

Passo 11

Precisamos analisar os casos especiais onde o denominador , ou seja, , e onde , que foi mencionado anteriormente.
Caso 1:
Substituindo no denominador da expressão para :
Agora, substituindo nas equações para e :
Portanto, para , temos uma solução única:
Caso 2:
Substituindo no denominador das expressões para e , vemos que ocorre divisão por zero, o que significa que precisamos verificar a consistência do sistema para .
Substituindo na Equação 3 original:
Comparando com as outras equações:
Vamos tentar resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Subtraindo a Equação 2:
Simplificando:
Agora, multiplcando a Equação 1 por 4:
Subtraindo a Equação 3:
Simplificando novamente:
Notamos que obtemos duas equações para :
Isso é impossível, pois . Portanto, para , o sistema não possui solução.

Resposta

Para todo , a solução do sistema é:
  • Quando :
  • Quando :
O sistema não possui solução.
  • Quando :
Portanto, todas as soluções possíveis dependem do valor de conforme descrito acima.

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