Para cada constante a in R, resolva o sistema linear a seguir. Descreva todas as solução possíveis.
ll x+2 y-3 z & =4 3 x-y+5 z & =2 4 x+y+(a^2-14) z & =a+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve uma constante ll x + 2 y - 3 z & =4 3 x - y +5 z & =2 4 x + y +(a^2-14) z & =a+2 . O sistema é:
Vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, como eliminação e substituição, para encontrar os valores de , e em função de . Dependendo do valor de , o sistema pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos ver passo a passo como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
  1.   (Equação 1)
  2.   (Equação 2)
  3.   (Equação 3)
Nosso objetivo é isolar uma das variáveis e substituir nas outras equações para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos começar pela Equação 1. Vamos isolar :
  (Equação 1a)
Agora, vamos substituir da Equação 1a nas Equações 2 e 3 para eliminar .

Passo 4

Substituindo na Equação 2:
Vamos expandir e simplificar:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, vamos isolar uma variável. Vamos escolher :
Dividindo todos os termos por -7 para simplificar:
  (Equação 2a)

Passo 5

Agora, vamos substituir da Equação 1a na Equação 3:
Expandindo:
Juntando os termos semelhantes:
Simplificando:
Vamos isolar :
Dividindo todos os termos por -7:
  (Equação 3a)

Passo 6

Agora temos duas equações com duas variáveis (y - a^2 - 27z) - (y - 2z) = 14 - a7 - 107 e - a^2 - 27z + 2z = 4 - a7 :
  1. (-a^2 - 27 + 2)z = 4 - a7   (Equação 2a)
  2. -a^2 - 27 + 147 = -a^2 + 2 + 147 = -a^2 + 167   (Equação 3a)
Vamos subtrair a Equação 2a da Equação 3a para eliminar -a^2 + 167 z = 4 - a7 :
(-a^2 + 16) z = 4 - a
Simplificando:
Vamos colocar os termos com em evidência:
Para somar os coeficientes, colocamos 2 em fração com denominador 7:
Então:
Podemos multiplicar ambos os lados por 7 para eliminar os denominadores:

Passo 7

Vamos agora isolar z = 4 - a-a^2 + 16 = a - 4a^2 - 16 :
a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)
Observamos que o denominador z = a - 4(a - 4)(a + 4) = 1a + 4, desde que a neq 4 pode ser fatorado:
Então:
Para , o denominador se torna zero, o que precisamos tratar separadamente.

Passo 8

Agora que temos y - 2z = 107 para y - 2 ( 1a + 4 ) = 107 , vamos encontrar y = 107 + 2a + 4 usando a Equação 2a:
y = 10(a + 4) + 147(a + 4) = 10a + 40 + 147(a + 4) = 10a + 547(a + 4) = 5a + 2772(a + 4)
Substituindo y = 10a + 547(a + 4) :
Isolando :
Vamos deixar com um denominador comum:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos encontrar x = 4 - 2y + 3z usando a Equação 1a:
x = 4 - 2 ( 10a + 547(a + 4) ) + 3 ( 1a + 4 )
Substituindo x = 4 - 20a + 1087(a + 4) + 3a + 4 e x = 4 cdot 7(a + 4)7(a + 4) - 20a + 1087(a + 4) + 217(a + 4) :
x = 28(a + 4) - (20a + 108) + 217(a + 4) = 28a + 112 - 20a - 108 + 217(a + 4) = 8a + 257(a + 4)
Vamos simplificar cada termo:
Colocando tudo com denominador :
Simplificando:

Passo 10

Agora, resumindo as soluções para x = dfrac8a + 257(a + 4) y = dfrac10a + 547(a + 4) z = dfrac1a + 4 e (para evitar divisão por zero):

Passo 11

Precisamos analisar os casos especiais onde o denominador z = 14 + 4 = 18 , ou seja, y = 10(4) + 547(4 + 4) = 40 + 5456 = 9456 = 4728 , e onde x = 8(4) + 257(4 + 4) = 32 + 2556 = 5756 , que foi mencionado anteriormente.
Caso 1: x = dfrac5756 y = dfrac4728 z = dfrac18
Substituindo 4x + y + ((-4)^2 - 14)z = -4 + 2 Rightarrow 4x + y + (16 - 14)z = -2 Rightarrow 4x + y + 2z = -2 no denominador da expressão para 3x + 6y - 9z = 12 :
(3x + 6y - 9z) - (3x - y + 5z) = 12 - 2 Rightarrow 7y - 14z = 10
Agora, substituindo y - 2z = 107 nas equações para 4x + 8y - 12z = 16 e (4x + 8y - 12z) - (4x + y + 2z) = 16 - (-2) Rightarrow 7y - 14z = 18 :
y - 2z = 187
y - 2z = 107 e y - 2z = 187
Portanto, para , temos uma solução única:
Caso 2:
Substituindo no denominador das expressões para e , vemos que ocorre divisão por zero, o que significa que precisamos verificar a consistência do sistema para .
Substituindo na Equação 3 original:
Comparando com as outras equações:
Vamos tentar resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Subtraindo a Equação 2:
Simplificando:
Agora, multiplcando a Equação 1 por 4:
Subtraindo a Equação 3:
Simplificando novamente:
Notamos que obtemos duas equações para :
Isso é impossível, pois . Portanto, para , o sistema não possui solução.

Resposta

Para todo x = dfrac8a + 257(a + 4) y = dfrac10a + 547(a + 4) z = dfrac1a + 4 , a solução do sistema é:
  • Quando x = dfrac5756 y = dfrac4728 z = dfrac18 :
  • Quando :
O sistema não possui solução.
  • Quando :
Portanto, todas as soluções possíveis dependem do valor de conforme descrito acima.

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