Para cada constante , resolva o sistema linear a seguir. Descreva todas as solução possíveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve uma constante ll x + 2 y - 3 z & =4 3 x - y +5 z & =2 4 x + y +(a^2-14) z & =a+2 . O sistema é:
Vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, como eliminação e substituição, para encontrar os valores de , e em função de . Dependendo do valor de , o sistema pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos ver passo a passo como resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
(Equação 1)
(Equação 2)
(Equação 3)
Nosso objetivo é isolar uma das variáveis e substituir nas outras equações para simplificar o sistema.
Passo 3
Vamos começar pela Equação 1. Vamos isolar :
(Equação 1a)
Agora, vamos substituir da Equação 1a nas Equações 2 e 3 para eliminar .
Passo 4
Substituindo na Equação 2:
Vamos expandir e simplificar:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, vamos isolar uma variável. Vamos escolher :
Dividindo todos os termos por -7 para simplificar:
(Equação 2a)
Passo 5
Agora, vamos substituir da Equação 1a na Equação 3:
Expandindo:
Juntando os termos semelhantes:
Simplificando:
Vamos isolar :
Dividindo todos os termos por -7:
(Equação 3a)
Passo 6
Agora temos duas equações com duas variáveis (y - a^2 - 27z) - (y - 2z) = 14 - a7 - 107 e - a^2 - 27z + 2z = 4 - a7 :
Agora, resumindo as soluções para x = dfrac8a + 257(a + 4) y = dfrac10a + 547(a + 4) z = dfrac1a + 4 e (para evitar divisão por zero):
Passo 11
Precisamos analisar os casos especiais onde o denominador z = 14 + 4 = 18 , ou seja, y = 10(4) + 547(4 + 4) = 40 + 5456 = 9456 = 4728 , e onde x = 8(4) + 257(4 + 4) = 32 + 2556 = 5756 , que foi mencionado anteriormente.
Caso 1: x = dfrac5756 y = dfrac4728 z = dfrac18
Substituindo 4x + y + ((-4)^2 - 14)z = -4 + 2 Rightarrow 4x + y + (16 - 14)z = -2 Rightarrow 4x + y + 2z = -2 no denominador da expressão para 3x + 6y - 9z = 12 :
Agora, substituindo y - 2z = 107 nas equações para 4x + 8y - 12z = 16 e (4x + 8y - 12z) - (4x + y + 2z) = 16 - (-2) Rightarrow 7y - 14z = 18 :
y - 2z = 187
y - 2z = 107 e y - 2z = 187
Portanto, para , temos uma solução única:
Caso 2:
Substituindo no denominador das expressões para e , vemos que ocorre divisão por zero, o que significa que precisamos verificar a consistência do sistema para .
Substituindo na Equação 3 original:
Comparando com as outras equações:
Vamos tentar resolver esse sistema.
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Subtraindo a Equação 2:
Simplificando:
Agora, multiplcando a Equação 1 por 4:
Subtraindo a Equação 3:
Simplificando novamente:
Notamos que obtemos duas equações para :
Isso é impossível, pois . Portanto, para , o sistema não possui solução.
Resposta
Para todo x = dfrac8a + 257(a + 4) y = dfrac10a + 547(a + 4) z = dfrac1a + 4 , a solução do sistema é:
Quando x = dfrac5756 y = dfrac4728 z = dfrac18 :
Quando :
O sistema não possui solução.
Quando :
Portanto, todas as soluções possíveis dependem do valor de conforme descrito acima.