Quais são as coordenadas do ponto P que é simético do ponto A=(1,0,-3) em relação ao ponto B=(2,-2,1) ? Lembre-se que P é simétrico a A em relação ao ponto B se o ponto B é o ponto médio do segmento de reta com extremidades nos pontos A e P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto que é simétrico do ponto em relação ao ponto . Isso significa que o ponto é o ponto médio do segmento de reta que liga e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do ponto médio, para achar as coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a fórmula do ponto médio. Se temos dois pontos xB = xA + xP2, yB = yA + yP2, zB = zA + zP2 e , o ponto médio das coordenadas é dado por:
Isso significa que cada coordenada de é a média das coordenadas correspondentes de e .

Passo 3

Sabemos as coordenadas de 2 = 1 + xP2 e 4 = 1 + xP , então podemos substituir esses valores na fórmula do ponto médio para encontrar xP = 4 - 1 = 3 . Vamos fazer isso para cada coordenada:
Para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então:

Passo 4

Agora, para a coordenada -2 = 0 + yP2 :
-4 = yP
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Por fim, para a coordenada 1 = -3 + zP2 :
2 = -3 + zP
Multiplicando ambos os lados por 2:
zP = 2 + 3 = 5
Então:

Resposta

As coordenadas do ponto são .

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