Determine os possíveis valores de e de modo que os pontos e sejam colineares.

Passo 1

Beleza, então temos três pontos no espaço: , e . A questão pede para encontrar os valores de e de modo que esses três pontos fiquem na mesma linha reta, ou seja, sejam colineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos são colineares se o vetor que vai de um ao outro é paralelo. Ou seja, o vetor deve ser um múltiplo escalar do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de pelas de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor , subtraindo as coordenadas de pelas de :

Passo 5

Como e devem ser paralelos, existe um número tal que . Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 6

Vamos resolver para usando a segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
E na terceira equação para encontrar :

Resposta

Os valores que satisfazem a colinearidade são e .

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