Determine os possíveis valores de
e
de modo que os pontos
e
sejam colineares.
Passo 1
Beleza, então temos três pontos no espaço:
,
e
. A questão pede para encontrar os valores de
e
de modo que esses três pontos fiquem na mesma linha reta, ou seja, sejam colineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos são colineares se o vetor que vai de um ao outro é paralelo. Ou seja, o vetor
deve ser um múltiplo escalar do vetor
.
Passo 3
Vamos calcular o vetor
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
pelas de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor
, subtraindo as coordenadas de
pelas de
:
Passo 5
Como
e
devem ser paralelos, existe um número
tal que
. Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 6
Vamos resolver para
usando a segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
E na terceira equação para encontrar
:
Resposta
Os valores que satisfazem a colinearidade são
e
.