Determine os possíveis valores de e de modo que os pontos e sejam colineares.
Passo 1
Beleza, então temos três pontos no espaço: , e . A questão pede para encontrar os valores de e de modo que esses três pontos fiquem na mesma linha reta, ou seja, sejam colineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos são colineares se o vetor que vai de um ao outro é paralelo. Ou seja, o vetor deve ser um múltiplo escalar do vetor .
Passo 3
Vamos calcular o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de pelas de :
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor , subtraindo as coordenadas de pelas de :
Passo 5
Como e devem ser paralelos, existe um número tal que . Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 6
Vamos resolver para usando a segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :