Determine os possíveis valores de x e z de modo que os pontos A=(5,1,-3), B=(0,3,4) e C=(x, 0, z) sejam colineares.

Passo 1

Beleza, então temos três pontos no espaço: A=(5,1,-3), B=(0,3,4) e C=(x, 0, z). A questão pede para encontrar os valores de x e z de modo que esses três pontos fiquem na mesma linha reta, ou seja, sejam colineares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos são colineares se o vetor que vai de um ao outro é paralelo. Ou seja, o vetor AB deve ser um múltiplo escalar do vetor AC.

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A pelas de B:
AB = B - A = (0-5, 3-1, 4 - (-3)) = (-5, 2, 7)

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor AC, subtraindo as coordenadas de A pelas de C:
AC = C - A = (x-5, 0-1, z - (-3)) = (x-5, -1, z+3)

Passo 5

Como AB e AC devem ser paralelos, existe um número k tal que AB = k cdot AC. Isso nos dá as seguintes equações:
-5 = k(x - 5) 2 = k(-1) 7 = k(z + 3)

Passo 6

Vamos resolver para k usando a segunda equação:
2 = -k k = -2
Agora, substituímos k na primeira equação para encontrar x:
-5 = -2(x - 5) -5 = -2x + 10 -15 = -2x x = 152 = 7,5
E na terceira equação para encontrar z:
7 = -2(z + 3) 7 = -2z -6 13 = -2z z = -132 = -6,5

Resposta

Os valores que satisfazem a colinearidade são x = 7,5 e z = -6,5.

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