Ache o máximo e o mínimo absoluto de cada uma das seguintes funções:
definida na região quadrangular de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função
dentro de uma região quadrada que tem os vértices em
. Isso está ligado a otimização de funções de várias variáveis, onde a gente procura os valores mais altos e mais baixos que a função pode atingir nessa área específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores da função nos limites da região, ou seja, nas bordas do quadrado com vértices em
.
Vamos considerar os quatro lados:
- Lado 1:
, varia de -1 a 1. - Lado 2:
, varia de -1 a 1. - Lado 3:
, varia de -1 a 1. - Lado 4:
, varia de -1 a 1.
Vamos calcular os valores de
em cada um desses lados.
Por exemplo, para
:
A gente pode ver que essa função atinge seu máximo em
e seu mínimo em
.
Fazendo isso para todos os lados, identificamos os valores máximos e mínimos nesses limites.
Passo 5
Finalmente, comparamos todos os valores obtidos: o valor no ponto crítico e os valores nos limites da região.
- Máximo absoluto: ocorre em
, onde . - Mínimo absoluto: ocorre em
, onde .
Resposta
O máximo absoluto da função é aproximadamente 20,0855 e o mínimo absoluto é aproximadamente 0,7788, dentro da região especificada.