Ache o máximo e o mínimo absoluto de cada uma das seguintes funções: f(x, y) = e^(x^2 + y^2 + y) definida na região quadrangular de vértices ± 1, ± 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função dentro de uma região quadrada que tem os vértices em . Isso está ligado a otimização de funções de várias variáveis, onde a gente procura os valores mais altos e mais baixos que a função pode atingir nessa área específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando essas derivadas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores da função nos limites da região, ou seja, nas bordas do quadrado com vértices em .
Vamos considerar os quatro lados:
  1. Lado 1: , varia de -1 a 1.
  2. Lado 2: , varia de -1 a 1.
  3. Lado 3: , varia de -1 a 1.
  4. Lado 4: , varia de -1 a 1.
Vamos calcular os valores de em cada um desses lados.
Por exemplo, para :
A gente pode ver que essa função atinge seu máximo em e seu mínimo em .
Fazendo isso para todos os lados, identificamos os valores máximos e mínimos nesses limites.

Passo 5

Finalmente, comparamos todos os valores obtidos: o valor no ponto crítico e os valores nos limites da região.
  • Máximo absoluto: ocorre em , onde .
  • Mínimo absoluto: ocorre em , onde .

Resposta

O máximo absoluto da função é aproximadamente 20,0855 e o mínimo absoluto é aproximadamente 0,7788, dentro da região especificada.

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