Em cada um dos itens abaixo, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
:
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é o campo de direções para equações diferenciais, que nos ajuda a visualizar o comportamento das soluções de
conforme
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar o campo de direções e interpretar o comportamento das soluções a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um gráfico que mostra a inclinação da solução da equação diferencial em cada ponto do plano
. Cada pequeno segmento no gráfico tem uma inclinação igual à derivada
naquele ponto, que neste caso é
.
Passo 3
Vamos determinar as inclinações em diferentes valores de
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Isso nos ajuda a desenhar pequenos segmentos com essas inclinações nos respectivos pontos.
Passo 4
Desenhando o campo de direções com essas inclinações, observamos que existe um valor de equilíbrio em
, onde
. Isso significa que se a solução atingir esse valor, ela permanecerá constante.
Passo 5
Analisando o comportamento de
conforme
:
- Se
, então , o que indica que está aumentando. - Se
, então , indicando que está diminuindo. - No ponto de equilíbrio
, permanece constante.
Isso sugere que, independentemente do valor inicial de
, à medida que
tende ao infinito,
tende a
.
Resposta
Conforme
,
tende ao valor
.