Em cada um dos itens abaixo, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t -> infinito :
y' = 1 + 2y

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é o campo de direções para equações diferenciais, que nos ajuda a visualizar o comportamento das soluções de y conforme t tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar o campo de direções e interpretar o comportamento das soluções a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um gráfico que mostra a inclinação da solução da equação diferencial em cada ponto do plano (t, y). Cada pequeno segmento no gráfico tem uma inclinação igual à derivada y' naquele ponto, que neste caso é .

Passo 3

Vamos determinar as inclinações em diferentes valores de y:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
Isso nos ajuda a desenhar pequenos segmentos com essas inclinações nos respectivos pontos.

Passo 4

Desenhando o campo de direções com essas inclinações, observamos que existe um valor de equilíbrio em , onde . Isso significa que se a solução atingir esse valor, ela permanecerá constante.

Passo 5

Analisando o comportamento de y conforme t -> infinito:
  • Se , então , o que indica que y está aumentando.
  • Se , então , indicando que y está diminuindo.
  • No ponto de equilíbrio , y permanece constante.
Isso sugere que, independentemente do valor inicial de y, à medida que t tende ao infinito, y tende a -0,5.

Resposta

Conforme t -> infinito, y tende ao valor -0,5.

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