Sabe-se da Geometria Analítica que a distância de um ponto (x, y) de R^2 até a reta de equação a x + b y + c = 0 é dada pela expressão d(x, y) = |a x + b y + c| / raiz(a^2 + b^2). Usando isto, encontre a menor distância da elipse x^2 + 4y^2 = 1 à reta -x + y + 10 = 0. (Sugestão: d(x, y) será mínimo quando d(x, y)^2 for mínimo!)

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que a gente tem aqui fala sobre geometria analítica. A gente precisa encontrar a menor distância entre uma elipse, que é dada pela equação , e uma reta com a equação . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto até uma reta e otimizar para achar o ponto na elipse que está mais próximo da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distância de um ponto até a reta :
No nosso caso, a reta é , então , e . A distância fica:

Passo 3

A dica do exercício nos diz para minimizar olhando para , já que a função quadrática é mais fácil de trabalhar e o mínimo será o mesmo. Então, queremos minimizar:
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de e na elipse que minimizam essa expressão.

Passo 4

Sabemos que a elipse é dada por . Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto na elipse que minimiza . Ou seja, queremos minimizar sujeita a .

Passo 5

Aplicando os multiplicadores de Lagrange, temos que:
Calculando as derivadas:
E:
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos duas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e em termos de .

Passo 7

Multiplicando a primeira equação por e a segunda por para eliminar :
Somando as equações:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Agora, vamos usar a equação da elipse para substituir e encontrar . Porém, isso pode ficar bem complicado. Uma alternativa mais simples é perceber que o ponto mais próximo da elipse à reta será onde a reta tangente à elipse é paralela à reta dada. Resolviendo isso, podemos encontrar o ponto mais próximo.

Passo 9

A derivada implícita da elipse nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto :
A inclinação da reta é . Queremos que a inclinação da tangente à elipse seja igual a :

Passo 10

Substituindo na equação da elipse:
Então:
Então, os pontos são e .

Passo 11

Vamos calcular a distância desses pontos à reta . Usando a fórmula da distância:
Para :
Como estamos buscando a menor distância, consideramos os valores positivos.

Passo 12

Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Portanto, a menor distância é:

Resposta

A menor distância da elipse à reta é unidades.

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