Sabe-se da Geometria Analítica que a distância de um ponto
de
até a reta de equação
é dada pela expressão
. Usando isto, encontre a menor distância da elipse
à reta
. (Sugestão:
será mínimo quando
for mínimo!)
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que a gente tem aqui fala sobre geometria analítica. A gente precisa encontrar a menor distância entre uma elipse, que é dada pela equação
, e uma reta com a equação
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto até uma reta e otimizar para achar o ponto na elipse que está mais próximo da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distância de um ponto
até a reta
:
No nosso caso, a reta é
, então
,
e
. A distância fica:
Passo 3
A dica do exercício nos diz para minimizar
olhando para
, já que a função quadrática é mais fácil de trabalhar e o mínimo será o mesmo. Então, queremos minimizar:
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de
e
na elipse que minimizam essa expressão.
Passo 4
Sabemos que a elipse é dada por
. Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto na elipse que minimiza
. Ou seja, queremos minimizar
sujeita a
.
Passo 5
Aplicando os multiplicadores de Lagrange, temos que:
Calculando as derivadas:
E:
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos duas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar
e
em termos de
.
Passo 7
Multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
para eliminar
:
Somando as equações:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 8
Agora, vamos usar a equação da elipse
para substituir
e encontrar
. Porém, isso pode ficar bem complicado. Uma alternativa mais simples é perceber que o ponto mais próximo da elipse à reta será onde a reta tangente à elipse é paralela à reta dada. Resolviendo isso, podemos encontrar o ponto mais próximo.
Passo 9
A derivada implícita da elipse
nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
:
A inclinação da reta
é
. Queremos que a inclinação da tangente à elipse seja igual a
:
Passo 10
Substituindo
na equação da elipse:
Então:
Então, os pontos são
e
.
Passo 11
Vamos calcular a distância desses pontos à reta
. Usando a fórmula da distância:
Para
:
Como estamos buscando a menor distância, consideramos os valores positivos.
Passo 12
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar:
Portanto, a menor distância é:
Resposta
A menor distância da elipse
à reta
é
unidades.