Ache o máximo e mínimo absolutos das funções
abaixo na região fechada e limitada
indicada:
(21.1)
(21.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o máximo e mínimo absolutos da função
na região delimitada por
. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções de duas variáveis e otimização em regiões fechadas. Vamos precisar encontrar os pontos críticos da função dentro da região
e também examinar o comportamento da função na fronteira dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro da região
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da região
. Substituindo
e
na equação da região:
Como
, o ponto está dentro da região
.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos analisar a função na fronteira da região
, que é o círculo
. Para isso, podemos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Onde
varia de
a
.
Substituindo na função
:
Passo 6
Queremos encontrar os valores máximos e mínimos de
na fronteira. Isso significa encontrar os valores máximos e mínimos de
.
Podemos reescrever
como
usando a fórmula da soma de ângulos. Portanto:
O termo
varia entre
e
, então:
Assim:
Passo 7
Agora, vamos comparar os valores encontrados no ponto crítico e na fronteira:
- No ponto crítico
: - Na fronteira:
- Mínimo:
- Máximo:
- Mínimo:
Resposta
O mínimo absoluto da função
na região
é aproximadamente
, e o máximo absoluto é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Quais os números reais
tais que a soma é mínima e
?
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja (a) 1, (b) -3, © 0.
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.2) e
(22.2)