Quais os números reais x, y, z tais que a soma é mínima e x^2 + y^2 + z^2 = 4 ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os números reais que minimizam a soma , dado que a soma dos quadrados . Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente a ideia de minimizar uma função (neste caso, a soma) sob uma condição fixa (a soma dos quadrados).

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o que queremos minimizar: .
A restrição é que .
Nosso objetivo é encontrar os valores de que tornam o menor possível, enquanto respeitam a condição da restrição.

Passo 3

Para minimizar sob a restrição , podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Definimos a função de Lagrange:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.

Passo 5

Resolvendo as primeiras três equações:
Observamos que .

Passo 6

Substituindo na restrição :

Passo 7

Agora, como , temos duas possibilidades:
Vamos calcular a soma para cada caso.
Para :
Para :

Resposta

Os números reais que minimizam a soma são . A soma mínima é .

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