Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja (a) 1, (b) -3, © 0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para compor séries infinitas, ou seja, somas que continuam pra sempre, onde todos os termos são diferentes de zero. Precisamos fazer três séries que somem a (a) 1, (b) -3 e © 0. Vamos usar conceitos de séries infinitas e como elas funcionam para chegar nas respostas. Vamos precisar entender como uma série pode convergir para um número específico e como escolher os termos certos para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita é a soma de infinitos termos. Para que a série realmente some a um valor específico, ela precisa convergir para esse valor. Uma forma simples de fazer isso é usando uma série geométrica, onde cada termo é um múltiplo do anterior por uma razão constante. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
onde
é a soma,
é o primeiro termo e
é a razão entre os termos.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício: uma série que soma 1. Vamos escolher uma razão
que seja menor que 1 em valor absoluto para garantir que a série converge. Por exemplo, vamos pegar
. Agora, usando a fórmula:
Então, a série será:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): uma série que soma -3. Podemos usar a mesma ideia da série geométrica, mas ajustando os sinais para que a soma dê um valor negativo. Vamos escolher
novamente e resolver para
:
Assim, a série fica:
Passo 5
Por fim, vamos resolver a parte ©: uma série que soma 0. Uma maneira de fazer isso é alternando os sinais dos termos de forma que eles se anulem. Por exemplo, podemos usar uma série alternada com
:
Vamos calcular a soma usando a fórmula da série geométrica, mas considerando os sinais alternados:
Para que a soma seja exatamente 0, precisamos que os termos positivos e negativos se cancelem perfeitamente. Então, podemos ajustar os termos dessa maneira:
Embora essa série não converga no sentido tradicional, ela pode ser interpretada no sentido de Cesàro, onde a soma é considerada como 0.
Resposta
(a) Uma série que soma 1:
(b) Uma série que soma -3:
© Uma série que soma 0:
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Ache o máximo e mínimo absolutos das funções
abaixo na região fechada e limitada
indicada:
(21.1)
(21.1)
Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.2) e
(22.2)
Se
converge
para todo
, pode-se dizer algo sobre
? Justifique sua resposta.