Escreva os primeiros termos da série para encontrar e . Calcule a soma da série e expresse a desigualdade em termos de , encontrando os valores de para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca acaba. A série que temos é . Nosso objetivo aqui é:
Escrever os primeiros termos dessa série para identificar o primeiro termo () e a razão () da série.
Calcular a soma dessa série.
Encontrar os valores de que fazem com que a série convirja, ou seja, some para um valor finito.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para identificar e . A série é dada por:
Isso significa que para cada valor de começando em 0, a gente tem um termo da soma. Vamos calcular alguns:
Para :
Para :
Para :
Então, os primeiros termos são , , , e assim por diante.
Numa série geométrica, a gente tem o primeiro termo e a razão , que é o fator pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Comparando com a nossa série, vemos que:
Primeiro termo ():
Razão ():
Passo 3
Agora que temos e , vamos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
Mas isso só funciona se a série converge, ou seja, se . Se essa condição não for satisfeita, a série não soma para um valor finito.
Então, aplicando a fórmula:
Vamos simplificar o denominador:
Então, substituindo de volta na fórmula da soma:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a série realmente convirja. Para isso, a razão deve satisfazer . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que fazem isso:
Isso significa que:
-1 < x - 12 < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando todos os lados por 2:
-2 < x - 1 < 2
Agora, somando 1 em todas as partes:
-2 + 1 < x < 2 + 1
-1 < x < 3
Então, a desigualdade |r| < 1 vale para x entre -1 e 3.
Resposta
A soma da série é S = 63 - x e ela converge para todo x que satisfaz -1 < x < 3.