Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty 3(x-12)^n para encontrar a e r. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade |r|<1 em termos de x, encontrando os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca acaba. A série que temos é sumn=0^infty 3(x-12)^n. Nosso objetivo aqui é:
  1. Escrever os primeiros termos dessa série para identificar o primeiro termo ( a) e a razão ( r) da série.
  2. Calcular a soma dessa série.
  3. Encontrar os valores de x que fazem com que a série convirja, ou seja, some para um valor finito.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para identificar a e r. A série é dada por:
sumn=0^infty 3(x-12)^n
Isso significa que para cada valor de n começando em 0, a gente tem um termo da soma. Vamos calcular alguns:
  • Para n = 0:
    3(x-12)^0 = 3 times 1 = 3
  • Para n = 1:
    3(x-12)^1 = 3 times x-12 = 3(x-1)2
  • Para n = 2:
    3(x-12)^2 = 3 times (x-12)^2 = 3 times (x-1)^24 = 3(x-1)^24
Então, os primeiros termos são 3, 3(x-1)2, 3(x-1)^24, e assim por diante.
Numa série geométrica, a gente tem o primeiro termo a e a razão r, que é o fator pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Comparando com a nossa série, vemos que:
  • Primeiro termo ( a): 3
  • Razão ( r): x-12

Passo 3

Agora que temos a = 3 e r = x-12, vamos calcular a soma da série. Para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
S = a1 - r
Mas isso só funciona se a série converge, ou seja, se |r| < 1. Se essa condição não for satisfeita, a série não soma para um valor finito.
Então, aplicando a fórmula:
S = 31 - x-12
Vamos simplificar o denominador:
1 - x-12 = 22 - x-12 = 2 - (x - 1)2 = 3 - x2
Então, substituindo de volta na fórmula da soma:
S = 33 - x2 = 3 times 23 - x = 63 - x

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a série realmente convirja. Para isso, a razão r deve satisfazer |r| < 1. Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x que fazem isso:
| x - 12 | < 1
Isso significa que:
-1 < x - 12 < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando todos os lados por 2:
-2 < x - 1 < 2
Agora, somando 1 em todas as partes:
-2 + 1 < x < 2 + 1
-1 < x < 3
Então, a desigualdade |r| < 1 vale para x entre -1 e 3.

Resposta

A soma da série é S = 63 - x e ela converge para todo x que satisfaz -1 < x < 3.

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