Use o teorema de Lagrange para encontrar xi1 e xi2 conforme o caso:
(22.2) f(x, y) = x^3 - y^2 ; x in [2, 6] e y = 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida no intervalo e com . A questão solicita que usemos o Teorema de Lagrange para encontrar os valores de e .
O Teorema de Lagrange, também conhecido como Teorema do Valor Médio, nos ajuda a encontrar um ponto específico onde a taxa de variação da função é igual à taxa média de variação ao longo de um intervalo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função em relação a e aplicar o teorema no intervalo dado.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o valor da função nos pontos finais do intervalo.
Para e :
Para e :

Passo 3

Agora, calculamos a derivada da função em relação a , já que é constante.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Lagrange, sabemos que existe um ponto no intervalo tal que:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Como é constante, a derivada em relação a é zero, então não há necessidade de encontrar nesse caso.

Resposta

O valor de que satisfaz o Teorema de Lagrange é aproximadamente .

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