Ache o máximo e o mínimo absolutos de f(x) = (x - 2)^(2 / 3) no intervalo [1,5].
  • Leon Tolstói (1828-1910)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função no intervalo de de 1 a 5. Isso envolve conceitos de funções contínuas, derivadas e extremos em cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, identificar pontos críticos e avaliar a função nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando: . Essa função está definida para todos os valores de , já que estamos elevando um número real a uma potência fracionária. Nosso objetivo é encontrar onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do intervalo [1, 5].

Passo 3

Para encontrar os extremos de uma função em um intervalo, precisamos seguir dois passos principais:
  1. Encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.
  2. Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo. O maior valor encontrado será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função . Usaremos a regra da potência para derivar:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
No entanto, essa equação nunca é igual a zero porque o numerador é 2, que é diferente de zero. Isso significa que não há pontos críticos onde a derivada é zero.

Passo 6

Apesar de não termos pontos críticos onde a derivada é zero, devemos verificar se a derivada existe em todo o intervalo. Observando , vemos que a derivada não existe quando , porque estaríamos dividindo por zero. Portanto, é um ponto crítico, pois a derivada não existe nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo [1, 5].
  1. No ponto :
  1. No ponto crítico :
  1. No ponto :

Resposta

Portanto, no intervalo [1, 5]:
  • Máximo absoluto: no ponto .
  • Mínimo absoluto: no ponto .

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