Ache o máximo e o mínimo absolutos de
no intervalo
.
- Leon Tolstói (1828-1910)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
no intervalo de
de 1 a 5. Isso envolve conceitos de funções contínuas, derivadas e extremos em cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, identificar pontos críticos e avaliar a função nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
. Essa função está definida para todos os valores de
, já que estamos elevando um número real a uma potência fracionária. Nosso objetivo é encontrar onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos dentro do intervalo [1, 5].
Passo 3
Para encontrar os extremos de uma função em um intervalo, precisamos seguir dois passos principais:
- Encontrar os pontos críticos da função dentro do intervalo. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.
- Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo. O maior valor encontrado será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função
. Usaremos a regra da potência para derivar:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
No entanto, essa equação nunca é igual a zero porque o numerador é 2, que é diferente de zero. Isso significa que não há pontos críticos onde a derivada é zero.
Passo 6
Apesar de não termos pontos críticos onde a derivada é zero, devemos verificar se a derivada existe em todo o intervalo. Observando
, vemos que a derivada não existe quando
, porque estaríamos dividindo por zero. Portanto,
é um ponto crítico, pois a derivada não existe nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nos extremos do intervalo [1, 5].
- No ponto
:
- No ponto crítico
:
- No ponto
:
Resposta
Portanto, no intervalo [1, 5]:
- Máximo absoluto:
no ponto . - Mínimo absoluto:
no ponto .