Seja a função dada abaixo. Calcule os valores das constantes e para que seja conínua em todo o seu domínio.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x)=llr 2x + 1 & se & x <= 3 a x + b & se & 3 < x < 5 x^2 + 2 & se & 5 <= x
Queremos encontrar os valores das constantes e de forma que a função seja contínua em todo o seu domínio. Para isso, precisamos garantir que as partes da função “sejoem” umas nas outras sem saltos ou interrupções nos pontos de junção, que são e . Vamos usar conceitos de continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade em limx to 3^- f(x) = 2(3) + 1 = 7 . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite da função quando limx to 3^+ f(x) = a(3) + b = 3a + b se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao limite quando 3a + b = 7 (Equação 1) se aproxima de 3 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
A parte da função para é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda:
A parte da função para é . O limite quando se aproxima de 3 pela direita é:
Para que a função seja contínua em :
çã
Passo 3
Agora, vamos analisar a continuidade em limx to 5^- f(x) = a(5) + b = 5a + b . Novamente, o limite da função quando limx to 5^+ f(x) = (5)^2 + 2 = 25 + 2 = 27 se aproxima de 5 pela esquerda deve ser igual ao limite quando 5a + b = 27 (Equação 2) se aproxima de 5 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
A parte da função para é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 5 pela esquerda:
A parte da função para é . O limite quando se aproxima de 5 pela direita é:
Para que a função seja contínua em :
çã
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3a + b = 7 (Equação 1) 5a + b = 27 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de (5a + b) - (3a + b) = 27 - 7 e 2a = 20 .
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
a = 10
Simplificando:
3(10) + b = 7
30 + b = 7
Agora, substituindo b = 7 - 30 na Equação 1:
b = -23
Resposta
Os valores das constantes que tornam a função contínua em todo o seu domínio são: