Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Fourier para uma função periódica. A função dada é:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o período da função. Observando o intervalo dado, vemos que a função se repete a cada
unidades (de
a
). Portanto, o período
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os coeficientes
, que estão relacionados aos termos de cosseno na série. A fórmula é:
Aqui,
, então a fórmula fica:
Substituindo a função
:
Integrando:
Porque
para qualquer inteiro
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que estão ligados aos termos de seno na série. A fórmula é:
Substituindo
e
:
Integrando:
Como
, podemos escrever:
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a série de Fourier da função. A série geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier para a função dada é: