Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos
f(x) = { 0 se -1 < x < 0; 1 se 0 < x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Fourier para uma função periódica. A função dada é:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o período da função. Observando o intervalo dado, vemos que a função se repete a cada unidades (de a ). Portanto, o período é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os coeficientes , que estão relacionados aos termos de cosseno na série. A fórmula é:
Aqui, , então a fórmula fica:
Substituindo a função :
Integrando:
Porque para qualquer inteiro .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que estão ligados aos termos de seno na série. A fórmula é:
Substituindo e :
Integrando:
Como , podemos escrever:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a série de Fourier da função. A série geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A série de Fourier para a função dada é:

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