Calcule a integral: integral cos x ln (sen x) d x

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral de multiplicado pelo logaritmo do seno de , ou seja, . Vamos usar técnicas de cálculo de integrais, especificamente a integração por partes, para resolver esse exercício.

Passo 2

Escolhendo as Funções para Integração por Partes: A fórmula da integração por partes é . Precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Vamos escolher:

Passo 3

Calculando du = ddx ln(sen x) , dx = cos xsen x , dx = cot x , dx e v = integral cos x , dx = sen x :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Integração por Partes:

Passo 5

Simplificando a Integral Restante: Sabemos que , então:

Passo 6

Finalizando a Resolução: Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

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