Seja f(x)=x-2x+5. Determine todos os valores do número real p tais que lim x p f(x)>0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a função e precisamos descobrir todos os valores reais de para os quais o limite de quando se aproxima de é maior que zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais e analisar onde a função é positiva.

Passo 2

Primeiro, observe que é uma função racional, ou seja, é uma fração onde o numerador é e o denominador é . É importante lembrar que uma função racional não está definida quando o denominador é zero, então precisamos identificar onde isso acontece.

Passo 3

Vamos encontrar onde o denominador é zero:
x + 5 = 0 implies x = -5
Portanto, a função não está definida em . Isso significa que o limite quando se aproxima de não existe, então precisamos considerar isso na nossa análise.

Passo 4

O próximo passo é entender que o limite de limx to p f(x) = p - 2p + 5 > 0 quando se aproxima de é simplesmente , desde que . Então, queremos que:
Isso significa que a fração precisa ser maior que zero.

Passo 5

Para que uma fração seja maior que zero, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Vamos analisar os dois casos possíveis:
  1. Numerador e denominador positivos:
    p - 2 > 0 implies p > 2
    p + 5 > 0 implies p > -5
    Juntando essas duas condições, temos que p - 2 < 0 implies p < 2 .
  2. Numerador e denominador negativos:
    p + 5 < 0 implies p < -5
    Juntando essas duas condições, temos que .

Passo 6

Resumindo, encontramos dois intervalos para onde a fração é positiva:
  • Quando
  • Quando
É importante lembrar que não pode ser igual a porque a função não está definida nesse ponto.

Resposta

Os valores reais de que satisfazem são todos os números menores que -5 ou maiores que 2. Em outras palavras, ou .

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