Seja
. Determine todos os valores do número real
tais que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos a função
e precisamos descobrir todos os valores reais de
para os quais o limite de
quando
se aproxima de
é maior que zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais e analisar onde a função é positiva.
Passo 2
Primeiro, observe que
é uma função racional, ou seja, é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. É importante lembrar que uma função racional não está definida quando o denominador é zero, então precisamos identificar onde isso acontece.
Passo 3
Vamos encontrar onde o denominador é zero:
Portanto, a função
não está definida em
. Isso significa que o limite quando
se aproxima de
não existe, então precisamos considerar isso na nossa análise.
Passo 4
O próximo passo é entender que o limite de
quando
se aproxima de
é simplesmente
, desde que
. Então, queremos que:
Isso significa que a fração
precisa ser maior que zero.
Passo 5
Para que uma fração seja maior que zero, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal. Vamos analisar os dois casos possíveis:
-
Numerador e denominador positivos:Juntando essas duas condições, temos que
. -
Numerador e denominador negativos:Juntando essas duas condições, temos que
.
Passo 6
Resumindo, encontramos dois intervalos para
onde a fração
é positiva:
- Quando
- Quando
É importante lembrar que
não pode ser igual a
porque a função não está definida nesse ponto.
Resposta
Os valores reais de
que satisfazem
são todos os números menores que -5 ou maiores que 2. Em outras palavras,
ou
.